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2006-10267-0101
2006 東京工業大学 前期
配点60点
易□ 並□ 難□
【1】 以下の問に答えよ.
(1) 自然数 n に対し I⁡ (n)= ∫0 n⁢ π2 ⁡ | sin⁡x |⁢ dx を求めよ.
(2) 次の不等式を示せ.
0≦ ∫0 s⁢π 2 ⁡ cos⁡x ⁢dx -s≦ ( π2 -1 ) ⁢s ( 0 ≦s≦ 1 )
(3) a を正の数とし, a を超えない最大の整数を [a ] で表す. [a ] が奇数のとき次の不等式が成り立つことを示せ.
0≦ ∫0 π 2 ⁡| sin⁡a ⁢t | ⁢dt -1≦ ( π2 -1 )⁢ (1 - [a ]a )
2006-10267-0102
配点70点
【2】 以下の問に答えよ.
(1) a ,b を正の定数とし, g⁡(t )= 1b ⁢ ta- log⁡t とおく. t>0 における関数 g ⁡(t ) の増減を調べ極値を求めよ.
(2) m を正の定数とし, xy 座標平面において条件
(a) y>x> 0 ; (b) すべての t >0 に対し 1y ⁢ tx -log⁡ t≧m
を満たす点 (x, y) からなる領域を D とする. D の概形を図示せよ.
(3) (2)の領域 D の面積を求めよ.
2006-10267-0103
【3】 平面上を半径 1 の 3 個の円板が下記の条件(a)と(b)を満たしながら動くとき,これら 3 個の円板の和集合の面積 S の最大値を求めよ.
2006-10267-0104
【4】 空間内の四面体 ABCD を考える.辺 AB , BC ,CD , DA の中点を,それぞれ K , L ,M , N とする.
(1) 4⁢MK →⋅ LN→ = | AC→ | 2 - | BD→ | 2 を示せ.ここに |AC → | はベクトル AC → の長さを表す.
(2) 四面体 ABCD のすべての面が互いに合同であるとする.このとき | AC→ | =| BD→ | , |BC → | =| AD→ | , |AB → | =| CD→ | を示せ.
(3) 辺 AC の中点を P とし, | AB→ | =3 , | BC→ | =5 , | CA→ | =6 とする.(2)の仮定のもとで,四面体 PKLN の体積を求めよ.