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2006 東京工業大学 前期

配点60点

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問に答えよ.

(1) 自然数 n に対し I (n)= 0 n π2 | sinx | dx を求めよ.

(2) 次の不等式を示せ.

0 0 sπ 2 cosx dx -s ( π2 -1 ) s 0 s 1

(3)  a を正の数とし, a を超えない最大の整数を [a ] で表す. [a ] が奇数のとき次の不等式が成り立つことを示せ.

0 0 π 2 | sina t | dt -1 ( π2 -1 ) (1 - [a ]a )

2006 東京工業大学 前期

配点70点

易□ 並□ 難□

【2】 以下の問に答えよ.

(1)  a b を正の定数とし, g(t )= 1b ta- logt とおく. t>0 における関数 g (t ) の増減を調べ極値を求めよ.

(2)  m を正の定数とし, xy 座標平面において条件

(a)  y>x> 0 (b) すべての t >0 に対し 1y tx -log tm

を満たす点 (x, y) からなる領域を D とする. D の概形を図示せよ.

(3) (2)の領域 D の面積を求めよ.

2006 東京工業大学 前期

配点60点

易□ 並□ 難□

【3】 平面上を半径 1 3 個の円板が下記の条件(a)と(b)を満たしながら動くとき,これら 3 個の円板の和集合の面積 S の最大値を求めよ.

2006 東京工業大学 前期

配点70点

易□ 並□ 難□

【4】 空間内の四面体 ABCD を考える.辺 AB BC CD DA の中点を,それぞれ K L M N とする.

(1)  4MK LN = | AC | 2 - | BD | 2 を示せ.ここに |AC | はベクトル AC の長さを表す.

(2) 四面体 ABCD のすべての面が互いに合同であるとする.このとき | AC | =| BD | |BC | =| AD | |AB | =| CD | を示せ.

(3) 辺 AC の中点を P とし, | AB | =3 | BC | =5 | CA | =6 とする.(2)の仮定のもとで,四面体 PKLN の体積を求めよ.

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