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2006 東京工業大学 後期数学

易□ 並□ 難□

【1】  a b を正の数とする. xy 座標平面において,楕円 a x2 +b y2 =1 の第 4 象限( x 0 y 0 )に含まれる部分を C 傾き t 0 の半直線 y =tx x0 l t とする. lt 上の点 P C 上の点 P を結ぶ線分 P P y 軸に平行になるように動くとき,線分 P P の長さを最大にする P P t で表し, t0 が変化するときに P t が描く曲線を C とする.また,楕円 a x2 +b y2 =1 C との交点を Q (α ,β) とする.

(1) 曲線 C の方程式 y= f( x) を求めよ.

(2)  α β を求めよ.

(3) 直線 y= β 曲線 C および y 軸が囲む領域を D とする. D y 軸の回りに 1 回転してできる回転体の体積 V を求めよ.

2006 東京工業大学 後期数学

易□ 並□ 難□

【2】 自然数 a b c

3a= b3 5a= c2

を満たし, d6 a を割り切るような自然数 d d =1 に限るとする.

(1)  a 3 5 で割り切れることを示せ.

(2)  a の素因数は 3 5 以外にないことを示せ.

(3)  a を求めよ.

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