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2006-10267-0201
2006 東京工業大学 後期数学
易□ 並□ 難□
【1】 a ,b を正の数とする. xy 座標平面において,楕円 a ⁢x2 +b⁢ y2 =1 の第 4 象限( x ≧0 ,y ≦0 )に含まれる部分を C , 傾き t ≧0 の半直線 y =t⁢x ( x≧0 ) を l t とする. lt 上の点 P と C 上の点 P ′ を結ぶ線分 P P′ が y 軸に平行になるように動くとき,線分 P P′ の長さを最大にする P を P t で表し, t≧0 が変化するときに P t が描く曲線を C ′ とする.また,楕円 a ⁢x2 +b⁢ y2 =1 と C ′ との交点を Q (α ,β) とする.
(1) 曲線 C ′ の方程式 y= f⁡( x) を求めよ.
(2) α と β を求めよ.
(3) 直線 y= β , 曲線 C ′ および y 軸が囲む領域を D とする. D を y 軸の回りに 1 回転してできる回転体の体積 V を求めよ.
2006-10267-0202
【2】 自然数 a , b ,c が
3⁢a= b3 , 5⁢a= c2
を満たし, d6 が a を割り切るような自然数 d は d =1 に限るとする.
(1) a は 3 と 5 で割り切れることを示せ.
(2) a の素因数は 3 と 5 以外にないことを示せ.
(3) a を求めよ.