Mathematics
Examination
Test
Archives
図1.1
【1】 白塗り正三角形に対して,各辺の中点を結んだ正三角形を黒く塗りつぶす操作を考える.すなわち,図1.1に示すように,辺の中点である点を結んだ正三角形を黒く塗りつぶす.
この操作を,一辺の白塗り正三角形に繰り返し行うことを考える.まず,を以上の整数とする.第回操作後の図形は,図1.2(a)に示す元の正三角形に対して図1.1の操作を行い生成されるものとする.第回操作後の図形は,第回操作後の図形における一辺の白塗り正三角形すべてに対して,図1.1の操作を行い生成されるものとする.具体的に,同図(b)は第操作後の図形(),同図(c)は第回操作後の図形()を示している.
以下の問に答えよ.ただし,白塗り正三角形の辺を結線と呼び,白塗り正三角形の頂点を端点と呼ぶことにする.
(a) 元の正三角形 | (b) 第回操作後の図形 | (c) 第回操作後の図形 |
図1.2 |
問1 題回操作後の図形において,一辺の白塗り正三角形の数と,端点の数を求めよ.
問2 第回操作後の図形において,黒塗り正三角形の数と,その面積の総和を求めよ.
問3 を以上の整数とする.第回操作後の図形において,黒塗り正三角形それぞれの重心と,正三角形の重心との距離を考える.最短距離はであるが,番目に短い距離を求めよ.
問4 第回操作後の図形においては,各辺が複数の結線で構成される正三角形が存在する.例えば,図1.2(b)の正三角形は,各辺がつの結線のみで構成されている.各辺が結線のみで構成される正三角形の総数をの関数として求めよ.なお,である.
問5 第回操作後の図形において,点を始点として点に至る経路を考える.ただし,経路は結線のみを通り,すべての端点を回だけ通るものとする.
(a) 第回操作後の図形において,このような経路をつ示せ.
(b) 題意の経路が存在するに関する必要充分十分条件を求めよ.また,がこの条件を満たすとき,題意の経路が存在することを証明せよ.さらに,その経路長をすべて求めよ.