2006　一橋大学　後期MathJax

【１】　正の整数$n$に対して，$n=k+2l$をみたすような$0$以上の整数の組$(k,l)$の個数を$a_n$とする．また，$n=p+2q+3r$をみたすような$0$以上の整数の組$(p,q,r)$の個数を$b_n$とする．

(1)　$a_n$を$n$で表せ．

(2)　$n$が$6$の倍数のとき，$b_n$を$n$で表せ．

【２】(1)　$k$を定数とする．$x\geqq 0$ならば常に$4x^3+1\geqq kx$となるような$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$のとき，${\displaystyle \frac{4(x^3+y^3)+5}{x+y+1}}$の最小値とそのときの$x\text{，}y$の値を求めよ．

【３】　点$\mathrm{O}$を中心とする円に四角形$\mathrm{ABCD}$が内接していて，次をみたす．

$\mathrm{AB}=1\text{，}\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\sqrt{6}\text{，}\mathrm{DA}=2$

(1)　$\mathrm{AC}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AO}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$および$\overrightarrow{\mathrm{AO}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=x\overrightarrow{\mathrm{AC}}+y\overrightarrow{\mathrm{AD}}$となる$x\text{，}y$の値を求めよ．

【４】　$a$を定数とする．関数$f(x)\text{，}g(x)\text{，}h(x)$を次のように定める．

• $f(x)=1-x$
• $g(x)=|x|$
• $h(x)={\displaystyle {\int }_0^x}\{f(t)-g(t-a)\}dx$

(1)　$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$x\geqq 0$における関数$y=h(x)$のグラフをかけ．

(2)　$x\geqq 0$における$h(x)$の最大値を$a$で表せ．

【５】　$n$を$2$以上の整数，$k$を$3$以上の整数とする．$1$から$n$までの番号がそれぞれ書かれた$n$枚のカードがある．これらのカードから$1$枚を選び元に戻すという試行を$k$回行う．

(1)　$1$回目の試行で選ばれたカードが，$2$回目から$k$回目までの試行のなかで$2$回以上は選ばれない確率を$n$と$k$で表せ．

(2)　$k=3\text{，}4$のとき，どのような$n$に対しても(1)で求めた確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$以上であることを示せ．

(3)　$k\geqq 5$のとき，ある$n$に対しては(1)で求めた確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$よりも小さいことを示せ．