2006　横浜国立大学　後期MathJax

【１】　$f(x)=x(2|x|-x)$とする．曲線$C:y=f(x)$上の点$(t,f(t))(t>0)$における$C$の接線を$l$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$x=0$における$f(x)$の微分係数を，その定義にしたがって求めよ．

(2)　$C$と$l$で囲まれる領域を$D$とする．$D$の面積が$36$となるとき$t$の値を求めよ．

(3)　$t$を(2)で求めた値とする．$D$を直線$x=k$で$2$つの領域に分割する．$D$の$x\leqq k$の部分と$x\geqq k$の部分の面積の比が$4:5$となるとき$k$の値を求めよ．

【２】　$\theta ={\displaystyle \frac{360°}{7}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\cos 3\theta =\cos 4\theta$であることを示せ．

(2)　$\cos \theta \text{，}\cos 2\theta \text{，}\cos 3\theta$が解となるような，係数がすべて整数である$x$の$3$次方程式を求めよ．

(3)　$(1+4{\cos }^2\theta )(1+4{\cos }^{2}2\theta )(1+4{\cos }^{2}3\theta )$を求めよ．

【３】　$r=2+\sqrt{3}$とし，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して

$p_n={\displaystyle \frac{r^n+r^{-n}}{2}\text{，}{q}_n=\frac{r^n-r^{-n}}{2\sqrt{3}}}$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　すべての$n$に対して

• $p_{n+1}=a{p}_n+b{q}_n$
• $q_{n+1}=c{p}_n+d{q}_n$

をみたす$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を$1$組求めよ．

(2)　各$n$に対して，$p_n$と$q_n$はどちらも正の整数であることを示せ．さらに，各$n$に対して，$p_n$と$q_n$の最大公約数は$1$であることを証明せよ．

【４】　$1$枚の硬貨を$10$回投げる．$k-1$回目，および$k$回目がともに表であるような$k$が存在するとき，$k$の最小値を$X$とする．このような$k$が存在しないときは$X=10$とする．例えば，投げた結果が

裏裏表裏表表裏表表表

のときは$X=6$であり，

裏表裏表裏裏裏表裏裏

のときは$X=10$である．次の問いに答えよ．

(1)　$X=n$となる場合の数を$a_n$とするとき，$a_5\text{，}{a}_6\text{，}{a}_7$をそれぞれ求めよ．

(2)　$X=10$となる確率を求めよ．

(3)　$X$の期待値を求めよ．

【１】　次の定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{x}^2\sin xdx$

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{x}^2{\sin }^{3}xdx$

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に楕円$C:{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}=1$がある．ただし，$a\text{，}b$は正の定数である．$C$上の点$\mathrm{P}(a\cos \theta ,b\sin \theta )$と$\mathrm{O}$を通る直線を$l$とし，$\mathrm{P}$における$C$の接線と平行で$\mathrm{O}$を通る直線を$l^{\prime }$とする．$C$と$l^{\prime }$の交点の$1$つを$\mathrm{Q}$とおく．$L(\theta )=\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$L(\theta )$を求めよ．

(2)　$\theta$が$0\leqq \theta <2\pi$を動くとき，$L(\theta )$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^2(x-7)}{x+1}}$に対して，$y=f(x)$のグラフを$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の増減，凹凸を調べ，$C$の概形を描け．

(2)　$C$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

【５】　$xy$平面上の$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$の範囲で方程式

$x^4+y^4-2(x^2+y^2)+1=0$

の表す曲線を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$(x,y)$が$C$上にあるとき，$y$を$x$の式で表せ．

(2)　$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．