2006　新潟大学　前期MathJax

2006-10321-0101

2006　新潟大学　前期

経済，人文，教育，農学部

易□　並□　難□

【１】　三角形 $OAB$ において，辺 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点を $P ，$ 線分 $OP$ を $k : (1 - k)$ に内分する点を $Q$ とし，直線 $AQ$ と直線 $OB$ の交点を $R$ とする． $\vec{OA} = \vec{a} ， \vec{OB} = \vec{b}$ として，次の問いに答えよ．ただし，実数 $k$ は $0 < k < 1$ の範囲を動くものとする．

(1)　 $\vec{OQ}$ を $k ， \vec{a} ， \vec{b}$ で表せ．

(2)　 $\vec{OR}$ を $k ， \vec{b}$ で表せ．

(3)　直線 $PR$ が直線 $AO$ に平行になるとき， $k$ の値を求めよ．

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2006　新潟大学　前期

経済，人文，教育，農学部

易□　並□　難□

【２】　 $a$ を実数とする． $x$ に関する方程式 $\log_{3} (x - 1) = \log_{9} (4 x - a - 3)$ が異なる $2$ つの実数解をもつとき， $a$ のとりうる値の範囲を求めよ．

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2006　新潟大学　前期

経済，人文，教育，農学部

易□　並□　難□

【３】　 $c$ を正の定数とし，放物線 $y = x^{2} + 6 c^{2}$ を $C_{1} ，$ 放物線 $y = - 2 x^{2}$ を $C_{2}$ とする． $2$ つの放物線 $C_{1}$ と $C_{2}$ の両方に接する直線で，傾きが正のものを $l_{1} ，$ 傾きが負のものを $l_{2}$ とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $l_{1}$ および $l_{2}$ の方程式をそれぞれ求めよ．

(2)　 $C_{1}$ と $2$ 直線 $l_{1} ， l_{2}$ で囲まれた図形の面積を $S_{1} ， C_{2}$ と $2$ 直線 $l_{1} ， l_{2}$ で囲まれた図形の面積を $S_{2}$ とするとき， $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ の値を求めよ．

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2006　新潟大学　前期

経済，人文，教育，農，理系学部

理系は【２-Ａ】

易□　並□　難□

【４-Ａ】　四角形 $ABCD$ は $∠ B = 120 ° ， CD = DA = AC$ を満たしているものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $AB < BD$ であることを示せ．

(2)　線分 $BD$ 上に $AB = BE$ となる点 $E$ をとるとき， $∠ BAE$ の大きさを求めよ．

(3)　 $AB + BC = BD$ であることを示せ．

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経済，人文，教育，理系学部

旧教育課程者選択用

理系は【２-Ｂ】

易□　並□　難□

【４-Ｂ】　 $α$ を $0$ でない複素数とする．複素数平面において，複素数 $z$ は $α z + \overline{α} \overline{z} = 1$ を満たしながら動くものとする．複素数 $w_{1} = α z$ を表す点が描く図形を $C_{1} ，$ 複素数 $w_{2} = \frac{α}{z}$ を表す点が描く図形を $C_{2}$ とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし， $\overline{α} ， \overline{z}$ はそれぞれ $α ， z$ に共役な複素数を表すものとする．

(1)　 $C_{1}$ は実軸上の点 $\frac{1}{2}$ を通り虚軸に平行な直線であることを示せ．

(2)　 $C_{2}$ は点 $α^{2}$ を中心とする半径 ${| α |}^{2}$ の円周から $1$ 点 $0$ を除いたものであることを示せ．

(3)　 $C_{1}$ と $C_{2}$ がただ $1$ 点のみを共有するとき， $α + \overline{α}$ の値を求めよ．

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理系

易□　並□　難□

【１】　曲線 $y = 2 x^{3} - 12 x$ を $C$ とし，点 $(1, −2)$ を通る $C$ の接線を $l$ とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $l$ の方程式を求めよ．

(2)　 $C$ と $l$ とで囲まれた図形の面積を求めよ．

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理系

易□　並□　難□

【３】　行列 $A = (\begin{matrix} a - 20 & 25 \\ −16 & a + 20 \end{matrix}) ， B = (\begin{matrix} 3 & −1 \\ 6 & −2 \end{matrix}) ， P = (\begin{matrix} 5 & 1 \\ 4 & 1 \end{matrix}) ， Q = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix})$ について，次の問いに答えよ．ただし， $a$ は実数である．

(1)　 $P$ の逆行列 $P^{−1}$ および $Q$ の逆行列 $Q^{−1}$ をそれぞれ求めよ．

(2)　 $C = P^{−1} A P ， D = Q^{−1} B Q$ とおくとき，行列 $C ， D$ をそれぞれ求めよ．

(3)　 $C ， D$ を(2)で求めた行列とする．等式 $C X = X D$ を満たす行列 $X = (\begin{matrix} x & y \\ z & w \end{matrix})$ で，零行列 $(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ と異なるものが存在するとき， $a$ の値を求めよ．ただし， $x ， y ， z ， w$ は実数である．

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理系

易□　並□　難□

【４】　四面体 $OABC$ において， $∠ BOC = ∠ COA = ∠ AOB = 60 °$ とする．頂点 $A$ から， $3$ 点 $O ， B ， C$ を通る平面に下ろした垂線を $AH$ とし，点 $H$ から直線 $OB$ に下ろした垂線を $HD$ とする．辺 $OA ， OB ， OC$ の長さをそれぞれ $a ， b ， c$ として，次の問いに答えよ．

(1)　内積 $\vec{OH} \cdot \vec{OB}$ および $\vec{OH} \cdot \vec{OC}$ を，それぞれ $a ， b ， c$ で表せ．

(2)　線分 $OH$ は $∠ BOC$ を $2$ 等分することを示せ．

(3)　 $\vec{AD} ⊥ \vec{OB}$ であることを示せ．さらに線分 $OD$ および $OH$ の長さをそれぞれ $a$ で表せ．

(4)　四面体 $OABC$ の体積を $a ， b ， c$ で表せ．

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理系

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【５】　次の問いに答えよ．

(1)　 $x > 0$ のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

$\log (x + 1) - \log x < \frac{1}{x}$

(2)　 $x ≧ 1$ のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

$x \log x ≧ (x - 1) \log (x + 1)$

(3)　整数 $n (n ≧ 3)$ に対して，不等式 ${(n!)}^{2} > n^{n}$ が成り立つことを示せ．