2006　金沢大学　前期　文系MathJax

【１】　放物線$y=-x^2+2x$を$H_1\text{，}$また放物線$y=x^2$を$H_2$で表す．$H_1$上の点$\mathrm{P}(a,-a^2+2a)$における$H_1$の接線を$l$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．また，$a$の値に関係なく，$l$は$H_2$と異なる$2$点で交わることを示せ．

(2)　接線$l$と放物線$H_2$の異なる$2$つの交点を結ぶ線分の中点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が$H_1$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡$C$の方程式を求めよ．

(3)　(2)の軌跡$C$と放物線$H_1$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,1)\text{，}\mathrm{B}(3,-1)$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

(2)　$t$が$0\leqq t\leqq 2$を満たしながら変化するとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$で定められる点$\mathrm{P}$の動く範囲を図示せよ．

(3)　$s\text{，}t$が$1\leqq s\leqq 3\text{，}0\leqq t\leqq 2$を満たしながら変化するとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$で定められる点$\mathrm{Q}$の動く範囲の面積を求めよ．

【３】　図のように頂点が${\mathrm{A}}_1$から${\mathrm{A}}_6$である一辺の長さが$2$の正六角形がある．さいころを投げて出た目$k$と頂点${\mathrm{A}}_k$を対応させる．さいころを$3$回投げて出た目がすべて異なるときには，対応する頂点を結んで三角形ができ，それ以外の場合には線分か点ができる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$▵{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3\text{，}▵{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_4\text{，}▵{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_5$の面積をそれぞれ求めよ．

(2)　さいころを$3$回投げたとき，三角形ができない確率を求めよ．

(3)　さいころを$3$回投げたとき，$▵{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3$と合同な三角形ができる確率を求めよ．

(4)　さいころを$3$回投げたときにできる図形の面積の期待値を求めよ．ただし，線分と点の面積は$0$とする．