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2006 金沢大学 前期 理系

理,医(医学科),薬,工学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(1) 条件 x1 =1 xn +1= xn+ 2n n=1 2 3 によって定められる数列 { xn } の一般項を求めよ.

(2) 条件 y1 = 43 1 yn+ 1= 4yn +3 4 n=1 2 3 によって定められる数列 { yn } の一般項を求めよ.

(3)  {xn } {yn } をそれぞれ(1),(2)の数列とする.

  2 つのベクトル a n =( 16- 1xn , 16 xn -1 ) bn = ( xn 4, 1 yn ) が垂直であるときの正の整数 n の値を求めよ.

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理,医(医学科),薬,工学部

易□ 並□ 難□

【2】  xy 平面上の円 C: x2+ y2= 3 上に 2 A ( 0,3 ) B (0 ,-3 ) がある.点 P (0 ,2 ) を通る直線と円 C の交点を Q R とする.ただし,点 R は第 1 象限にあり, APR= θ (0 <θ< π2 ) とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 原点 O から線分 QR へ垂線をひき QR との交点を S とする.線分 OS QR の長さをそれぞれ θ を用いて表せ.

(2)  AQB ABR の面積をそれぞれ T 1 T 2 とする. T1 =3 QPsin θ T 2=3 PR sinθ が成り立つことを示し,四角形 AQBR の面積 S (θ) を求めよ.

(3) (2)の S (θ) に対して, 23 <S (θ) を満たす θ の値の範囲を求めよ.

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理,医(医学科),薬,工学部

易□ 並□ 難□

2006年金沢大理系【3】の図

【3】  xy 平面上に媒介変数 t で表された曲線 C: x=2 t-sin t y=2 -cost がある. t=θ 0<θ <π のときの点 P (2 θ-sin θ,2- cosθ ) における C の法線を lθ とする. lθ x 軸と y 軸で囲まれた三角形の面積を S (θ) とし,その三角形と曲線 C の下側にある部分との共通部分(図の斜線部分)の面積を T (θ) とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 直線 lθ の方程式を求めよ.

(2)  S(θ ) を求めよ.

(3)  T(θ ) を求めよ.

(4) 極限値 lim θ +0 T( θ) S(θ ) を求めよ.

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理,医(医学科),薬,工学部

易□ 並□ 難□

【4】 定数 a b c に対し,行列 A= (a 2 -1b ) X= (2 1 11 ) D=( c 00 -2 c) が等式 A X=X D を満たしている.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  a b c の値を求めよ.

(2) 正の整数 n に対し, An を求めよ.

(3) (2)の An に対し, An= (s nt n un wn ) xn= sn- un y n=t n-w n とおく. xy 平面上の点 P n Qn P n( xn, xn ) Qn ( xn+ 1, yn+1 ) と定める. 3 つの直線 O Pn O Qn P nQn で囲まれた部分を y 軸の回りに 1 回転させてできる回転体の体積を Vn とする.

 このとき,無限級数 n =1 Vn の和を求めよ.

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