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2006-10361-0201
2006 金沢大学 前期 理系
理,医(医学科),薬,工学部
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) 条件 x1 =1 ,xn +1= xn+ 2n ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ ) によって定められる数列 { xn } の一般項を求めよ.
(2) 条件 y1 = 43 , 1 yn+ 1= 4yn +3 4 ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ ) によって定められる数列 { yn } の一般項を求めよ.
(3) {xn }, {yn } をそれぞれ(1),(2)の数列とする.
2 つのベクトル a n→ =( 16- 1xn , 16 xn -1 ), bn →= ( xn 4, 1 yn ) が垂直であるときの正の整数 n の値を求めよ.
2006-10361-0202
【2】 xy 平面上の円 C: x2+ y2= 3 上に 2 点 A ( 0,3 ) ,B (0 ,-3 ) がある.点 P (0 ,2 ) を通る直線と円 C の交点を Q , R とする.ただし,点 R は第 1 象限にあり, ∠APR= θ (0 <θ< π2 ) とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 原点 O から線分 QR へ垂線をひき QR との交点を S とする.線分 OS , QR の長さをそれぞれ θ を用いて表せ.
(2) ▵AQB と ▵ABR の面積をそれぞれ T 1 ,T 2 とする. T1 =3⁢ QP⁢sin⁡ θ ,T 2=3 ⁢PR⁢ sin⁡θ が成り立つことを示し,四角形 AQBR の面積 S⁡ (θ) を求めよ.
(3) (2)の S⁡ (θ) に対して, 2⁢3 <S⁡ (θ) を満たす θ の値の範囲を求めよ.
2006-10361-0203
【3】 xy 平面上に媒介変数 t で表された曲線 C: x=2⁢ t-sin⁡ t, y=2 -cos⁡t がある. t=θ ( 0<θ <π ) のときの点 P (2⁢ θ-sin⁡ θ,2- cos⁡θ ) における C の法線を lθ とする. lθ と x 軸と y 軸で囲まれた三角形の面積を S⁡ (θ) とし,その三角形と曲線 C の下側にある部分との共通部分(図の斜線部分)の面積を T⁡ (θ) とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 直線 lθ の方程式を求めよ.
(2) S⁡(θ ) を求めよ.
(3) T⁡(θ ) を求めよ.
(4) 極限値 lim θ→ +0 ⁡ T⁡( θ) S⁡(θ ) を求めよ.
2006-10361-0204
【4】 定数 a ,b ,c に対し,行列 A= (a 2 -1b ) ,X= (2 1 11 ), D=( c 00 -2⁢ c) が等式 A⁢ X=X⁢ D を満たしている.このとき,次の問いに答えよ.
(1) a, b, c の値を求めよ.
(2) 正の整数 n に対し, An を求めよ.
(3) (2)の An に対し, An= (s nt n un wn ), xn= sn- un ,y n=t n-w n とおく. xy 平面上の点 P n, Qn を P n( xn, xn ), Qn ( xn+ 1, yn+1 ) と定める. 3 つの直線 O Pn ,O Qn ,P nQn で囲まれた部分を y 軸の回りに 1 回転させてできる回転体の体積を Vn とする.
このとき,無限級数 ∑n =1∞ ⁡ Vn の和を求めよ.