2006　信州大学　前期　理，医学部MathJax

【１】　$a$を定数とする．辺の長さが$a$と$2a$の長方形の厚紙がある．この厚紙の四隅から同じ大きさの正方形を切り落とし，ふたのない直方体の容器を作る．容積が最大となるとき，切り落とした正方形の$1$辺の長さを$a$を用いて表せ．また，そのときの容積を求めよ．ただし，紙の暑さは容積を求めるときに考慮しないものとする．

【２】　$a，b$を実数とする．方程式$x^2+ax+b=|x|$が相異なる$4$個の実数解をもつような点$(a,b)$の存在する領域を図示せよ．

【３】　連続する$n$個の枠を左から順に白と黒に塗り分けたものを，$n$枠のバーコードという．黒く塗った枠の一続きをバーといい，白く塗った枠の一続きをスペースという．

　右の図は，$2$個のスペースと$2$個のバーからなる$7$枠のバーコードのうち，(a)はスペースで始まる例であり，(b)はバーから始まる例を示している．

(1)　$7$枠のバーコードを考える．このうち，$2$個のスペースと$2$個のバーからなるスペースで始まるバーコードの総数を求めよ．

(2)　$n$枠のバーコードを考える．$k$をうまく選んで，$k$個のスペースと$k$個のバーからなるスペースで始まるバーコードの総数が，$100$を超えるようにしたい．このことができる最小の$n$の値を求めよ．また，そのときの$k$の値を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$は$1$でない複素数で，${\alpha }^3=1$をみたすものとする．

${(\alpha +1)}^{2006}=p+qi$

となる実数$p，q$の値を求めよ．だだし，$i$は虚数単位である．

【４】　次の問いに答えよ．

(2)　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(1,1,2)，\mathrm{B}(2,4,1)$を通る直線上に点$\mathrm{P}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が直交するときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【５】　$a，b$は実数で，$a$は$0\leqq a\leqq 1$をみたす．このとき次の$2$つの放物線はただ$1$つの共有点をもつとする．

• $C_1:y=1-x^2$
• $C_2:y=b-{\displaystyle \frac{1}{2}}{(x+a)}^2$

(1)　$b$を$a$の式で表せ．

(2)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}x\geqq 0\\ y\geqq 0\\ (y+x^2-1)\{y+{\displaystyle \frac{1}{2}}{(x+a)}^2-b\}\leqq 0\end{array}$

の表す領域の面積$S(a)$を求めよ．

(3)　$a$は，共有点の$x$座標が$0\leqq x\leqq 1$の範囲にあるように動くものとする．このとき，$S(a)$が最小になるときの$a$の値を求めよ．

【６】　(1)　$n$を自然数とする．次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{n}}^1}(x-{\displaystyle \frac{1}{n}}){\tan }^2\{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}(x-{\displaystyle \frac{1}{n}}\left)\right\}dx\leqq {\displaystyle \frac{1}{n^2}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}k{\tan }^2{\displaystyle \frac{\pi k}{4n}}\leqq {\displaystyle {\int }_0^1}x{\tan }^2{\displaystyle \frac{\pi x}{4}}dx$

(2)　極限

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^2}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}k{\tan }^2{\displaystyle \frac{\pi k}{4n}}$

を求めよ．

【７】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$は逆行列をもつとする．

(1)　$A$が，性質「逆行列をもつあらゆる行列$X$に対して，つねに$AX=XA$が成り立つ」をもつための必要十分条件を$a，b，c，d$を用いて表せ．

(2)　$0$でない実数$t$を用いて$\left(\begin{array}{cc}t& 0\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{t}}\end{array}\right)$の形で表される行列の全体からなる集合を$\mathrm{H}$とする．$A$が、性質「$\mathrm{H}$に属するあらゆる行列$Y$に対して，つねに$AY{A}^{\mathrm{-1}}$が$\mathrm{H}$に属する」をもつための必要十分条件を$a，b，c，d$を用いて表せ．