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2006-10421-0401
2006 信州大学 後期 教育学部
学校教育教員養成課程理数科学専攻
配点75点
易□ 並□ 難□
【1】 E を単位行列とし,
A= 12 ⁢( 1 3 − 31 ) , B= 12 ⁢( 1 −3 31 )
とおくとき,次の問に答えよ.
(1) A2 =p⁢ A+q⁢ E を満たす数 p , q を求めよ.
(2) A n=E を満たす最小の自然数 n を求めよ.
(3) B=A k を満たす最小の自然数 k を求めよ.
2006-10421-0402
【2】 複素数 α =a1 +b 1⁢ i ( an , b1 は実数, i2 =−1 ) に対して
αn =an +b n⁢i ( a n ,b n は実数, n=1 , 2 , 3 , ⋯ )
とおく.次の問に答えよ.
(1) n=1 , 2 ,3 , ⋯ に対して,次の等式が成り立つことを示せ.
an+ 1= a1 ⁢an −b 1⁢ bn , bn +1 =a1 ⁢b n+ b1⁢ an
(2) 数列 { an } は次の漸化式を満たすことを示せ.
an+ 2= 2⁢a 1⁢ an+ 1− (a1 2+ b1 2)⁢ an ( n=1 , 2 ,3 , ⋯)
2006-10421-0403
【3】 関数 f⁡ (x) はすべての x ( −∞ <x< ∞ ) に対し
f⁡(x )=sin ⁡x+ ∫0 π⁡ f⁡( x)⁢ cos⁡( x−t )⁢d t
を満たす.次の問に答えよ.
(1) ∫0 π ⁡sin2 ⁡x⁢ dx を求めよ.
(2) f⁡( x) を求めよ.
2006-10421-0404
【4】 凸四角形 ABCD は,次の条件を満たすとする.
このとき,次の問に答えよ.
(1) ∠CAB= θ とおく.四角形 ABCD の面積 S を θ で表せ.
(2) (1)において θ が 0 <θ< π 2 の範囲で変化するとき, S の最大値を求めよ.