2006　信州大学　後期　理学部数IIICMathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_1^2}{\displaystyle \frac{dx}{x(2+x^2)}}$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }{e}^x\sin {\displaystyle \frac{x}{2}dx}$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}2& \mathrm{-1}\\ 1& 3\end{array}\right)$に対して，$AX=X+A$をみたす行列$X$を求めよ．

【２】(1)　曲線$y=e^{ax}$が直線$y=x$に接しているとき，定数$a$の値を求めよ．

(2)　$a$を(1)で求めた値とし，$f(x)=e^{ax}$とおく．関数$y=f(x)$の逆関数$y=g(x)$を求めよ．

(3)　(2)の関数$y=f(x)$のグラフ，関数$y=g(x)$のグラフ，$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　$0<r<1\text{，}\alpha \geqq 0$とする．

(1)　$x>0$に対し，

$f(x)=\alpha \log x+{\displaystyle \frac{x}{2}}\log r$

とおく．$M=f(-{\displaystyle \frac{2\alpha }{\log r}})$とする．$x>0$に対し，不等式

$f(x)\leqq M$

が成り立つことを示せ．

(2)　自然数$n$に対し，不等式

$n^{\alpha }{r}^n\leqq e^M{r}^{{\displaystyle \frac{n}{2}}}$

が成り立つことを示せ．また，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{\alpha }{r}^n$を求めよ．ただし，$M$は(1)の実数である．