2006　名古屋大学　前期MathJax

2006-10481-0101

2006　名古屋大学　前期

文科系

易□　並□　難□

【１】　 $0 ≦ k ≦ 1$ をみたす実数 $k$ に対して， $x y$ 平面上に次の連立不等式で表される $3$ つの領域 $D ， E ， F$ を考える．

$D$ は連立不等式 $y ≧ x^{2} ， y ≦ k x$ で表される領域
$E$ は連立不等式 $y ≦ x^{2} ， y ≧ k x$ で表される領域
$F$ は連立不等式 $y ≦ - x^{2} + 2 x ， y ≧ k x$ で表される領域

(1)　領域 $D \cup (E \cap F)$ の面積 $m (k)$ を求めよ．

(2)　(1)で求めた面積 $m (k)$ を最小にする $k$ の値と，その最小値を求めよ．

2006-10481-0102

2006　名古屋大学　前期

文科系

理科系【３】の類題

易□　並□　難□

【２】　 $x y$ 平面上に点 $A (2, 4)$ がある．平面上の直線 $l$ に関して点 $A$ と対称な点が $x$ 軸上にあるとき，直線 $l$ をピッタリ直線と呼ぶことにする．

(1)　点 $P (p, q)$ を通るピッタリ直線 $l$ があるとし， $l$ に関して $A$ と対称な点を $A^{'} (t, 0)$ とするとき， $p ， q ， t$ の間に成り立つ関係式を求めよ．

(2)　ピッタリ直線が $2$ 本通る点 $P (p, q)$ の存在範囲を求め，それを図示せよ．

(3)　点 $P (p, q)$ を通る $2$ 本のピッタリ直線が直交するような点 $P (p, q)$ の存在範囲を求め，それを図示せよ．

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文科系

理科系【４】の類題

易□　並□　難□

【３】　正六面体の各面に $1$ つずつ，サイコロのように， $1$ から $6$ までの整数がもれなく書かれていて，向かい合う面の数の和は $7$ である．このような正六面体が底面の数字が $1$ であるように机の上におかれている．この状態から始めて，次の試行を繰り返し行う．「現在の底面と隣り合う $4$ 面のうちの $1$ つを新しい底面にする．」ただし，これらの $4$ 面の数字が $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4}$ のとき，それぞれの面が新しい底面となる確率の比は $a_{1} : a_{2} : a_{3} : a_{4}$ とする．この試行を $n$ 回繰り返した後，底面の数字が $m$ である確率を $p_{n} (m) （ n ≧ 1 ）$ で表す． $q_{n} = p_{n} (1) + p_{n} (6) （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ とおく．

(1)　 $q_{1} ， q_{2}$ を求めよ．

(2)　 $q_{n}$ を $q_{n - 1}$ で表し， $q_{n}$ を求めよ．

(3)　 $p_{n} (1)$ を求めよ．

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2006　名古屋大学　前期

理科系

易□　並□　難□

【１】　 $x y$ 平面上に曲線 $C : y = \log x （ x > 0 ）$ を考える．

(1)　曲線 $C$ の接線で点 $(0, b)$ を通るものの方程式を求めよ．

(2)　平面上に $2$ 組の点列 ${A_{n}} ， {B_{n}}$ を次のように定める． $A_{1}$ を $(1, 0)$ とする． $A_{n}$ が定まったとき， $A_{n}$ を通り $x$ 軸に平行な直線と $y$ 軸との交点を $B_{n}$ とし， $B_{n}$ を通る曲線 $C$ の接線の接点を $A_{n + 1}$ とする．このとき， $2$ つの線分 $A_{n} B_{n}$ と $B_{n} A_{n + 1}$ および曲線 $C$ とで囲まれる部分の面積 $S_{n}$ を求めよ．

(3)　無限級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{S_{n}}$ の和を求めよ．ここで， $| r | < 1$ のとき $\lim_{n \to \infty} n r^{n} = 0$ であることを用いてよい．

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2006　名古屋大学　前期

理科系

易□　並□　難□

【２】　 $s$ を実数とする． $(u_{1}, v_{1}) = (s, 1)$ とし， $(u_{n}, v_{n}) （ n ≧ 2 ）$ を次の漸化式で定める．

$(\begin{matrix} u_{n} \\ v_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 2 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} u_{n - 1} \\ v_{n - 1} \end{matrix})$

$s$ が実数全体を動くとき， $(u_{n}, v_{n})$ が描く $x y$ 平面上の図形を $l_{n}$ とする．

(1)　図形 $l_{n} （ n ≧ 1 ）$ の方程式を求めよ．

(2)　 $l_{2 k - 1}$ （ $k$ は正の整数）と $y$ 軸との交点を中心とし， $l_{2 k}$ に接する円の方程式を求めよ．

2006-10481-0106

2006　名古屋大学　前期

理科系

文科系【２】の類題

易□　並□　難□

【３】　座標平面上に $3$ 点 $O (0, 0) ， A (4, 2) ， B (6, 0)$ を考える．平面上の直線 $l$ に関して点 $A$ と対称な点が線分 $OB$ 上にあるとき，直線 $l$ をピッタリ直線と呼ぶことにする．

(1)　点 $P (p, q)$ を通るピッタリ直線 $l$ があるとし， $l$ に関して $A$ と対称な点を $A^{'} (t, 0) （ 0 ≦ t ≦ 6 ）$ とするとき， $p ， q ， t$ の間に成り立つ関係式を求めよ．

(2)　ピッタリ直線が $2$ 本通る点 $P (p, q)$ の存在領域を求め，それを図示せよ．図には三角形 $OAB$ も書いておくこと．

(3)　点 $P (p, q)$ を通る $2$ 本のピッタリ直線が直交するような点 $P (p, q)$ の存在範囲を求め，それを図示せよ．

2006-10481-0107

2006　名古屋大学　前期

理科系

文科系【３】の類題

易□　並□　難□

【４】　正六面体の各面に $1$ つずつ，サイコロのように， $1$ から $6$ までの整数がもれなく書かれていて，向かい合う面の数の和は $7$ である．このような正六面体が底面の数字が $1$ であるように机の上におかれている．この状態から始めて，次の試行を繰り返し行う．「現在の底面と隣り合う $4$ 面のうちの $1$ つを新しい底面にする．」ただし，これらの $4$ 面の数字が $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4}$ のとき，それぞれの面が新しい底面となる確率の比は $a_{1} : a_{2} : a_{3} : a_{4}$ とする．この試行を $n$ 回繰り返した後，底面の数字が $m$ である確率を $p_{n} (m) （ n ≧ 1 ）$ で表す．

(1)　 $n ≧ 1$ のとき， $q_{n} = p_{n} (1) + p_{n} (6) ， r_{n} = p_{n} (2) + p_{n} (5) ， s_{n} = p_{n} (3) + p_{n} (4)$ を求めよ．

(2)　 $p_{n} (m) （ n ≧ 1 ， m = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ）$ を求めよ．

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