2006　名古屋大学　後期MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$を整数とし，$x$についての$3$次式$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$を考える．$f$が次の条件

• (ⅰ)　$f(\sqrt{2})=0$，
• (ⅱ)　$\omega ={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$とおくと，$f(\omega )$は実数

を満たすとき，$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位（$i^2=-1$）である．

【２】　$a$を$a>-2$を満たす定数とする．関数$y=\sin 2\theta \cos \theta +a\sin \theta \text{（}0°\leqq \theta <360°\text{）}$の最大値が$\sqrt{2}$となるような$a$の値を求めよ．

【３】　$k$を$2$以上の整数とする．硬貨を繰り返し投げて，表の出た回数が$k$回になるか，あるいは，裏の出た回数が$k$回になった時点で終了する．

(1)　$k\leqq n\leqq 2k-1$を満たす整数$n$に対して，ちょうど$n$回で終了する確率$p_n$を求めよ．

(2)　$k\leqq n\leqq 2k-2$を満たす整数$n$に対して，${\displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n}}$を求めよ．

(3)　$p_n$を最大にする$n$を求めよ．

【２】　$a$を正定数として，$xy$平面内の曲線$C:y=e^{ax}$を考える．

(1)　曲線$C$に原点から引いた接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C\text{，}$直線$l$および$y$軸で囲まれた部分を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【１】　$p\text{，}q$は自然数とする．

(ⅰ)　実数$x$に対して実数$y=f(x)$を定める関数$f(x)$が，任意の実数$x$に対して

$f(x)-2f(x+1)+f(x+2)>0$(＊)

を満たせば，任意の実数$x$に対して

$f(x)-{\displaystyle \frac{p+q}{q}}f(x+p)+{\displaystyle \frac{p}{q}}f(x+p+q)>0$

が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　$a\text{，}b\text{，}c$を

$a-{\displaystyle \frac{p+q}{q}}b+{\displaystyle \frac{p}{q}}c>0$

を満たす定数とする．このとき，$f(0)=a\text{，}f(p)=b\text{，}f(p+q)=c$でかつ任意の実数$x$に対して(＊)を満たす$2$次関数$f(x)$を与えよ．

(ⅲ)　$h\text{，}k$が実数で，$h={\displaystyle \frac{p+q}{q}}$と$k={\displaystyle \frac{p}{q}}$の両方が成り立つことはないものとする．このとき，任意の実数$x$に対して(＊)を満たすが，ある実数$x$に対しては

$f(x)-hf(x+p)+kf(x+p+q)>0$

が成り立たないような関数$f(x)$が存在することを証明せよ．

【２】　正五角形$\mathrm{ABCDE}$の頂点$\mathrm{A}$と$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{C}$と$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{E}$と$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{B}$と$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{D}$と$\mathrm{A}$をそれぞれ結んだ$5$本の対角線を考えると，それらは図のように$5$つの点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}$で交わる．この$5$つの点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}$上にそれぞれ$1$枚ずつ，表裏が定まったコインが置かれ固定されているとする．

　今，表裏が定まっていて互いに区別のつかない$5$枚のコインを新たに用意し，$5$つの点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$上に$1$枚ずつ置く．すると各対角線上にはそれぞれ$4$枚のコインが並ぶことになる．

問　どの対角線上にも表のコインが偶数枚置かれているような，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$上へのコインの置き方の場合の数は何通りあるか．考察の過程をていねいに説明して解答せよ．

【１】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}2$つの町がある．毎年$1$月$1$日に，$\mathrm{A}$町の前年の住民のうち$4$割が$\mathrm{B}$町に，$\mathrm{B}$町の前年の住民のうち$2$割が$\mathrm{A}$町に，それぞれ引っ越す（住民の数は十分に多く，引っ越す住民の割合は正確に$4$割，$2$割と見なしてよい）．それ以外には住民の移動はなく，$\mathrm{A}$町，$\mathrm{B}$町両方をあわせた住民の数は不変である．次の各問に答えよ．

(1)　ある年の末に$\mathrm{A}$町と$\mathrm{B}$町それぞれに住んでいる住民の数を$a_0\text{，}{b}_0$とする．$1$年後に$\mathrm{A}$町と$\mathrm{B}$町それぞれに住んでいる住民の数$a_1\text{，}{b}_1$を表す式を

$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ b_1\end{array}\right)=M\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ b_0\end{array}\right)$

とおくとき，$2\times 2$の行列$M$を具体的に示せ．

(2)　以下の式を満足する実数$\alpha \text{，}\beta$の値を求めよ．ただし$E$は$2\times 2$の単位行列である．

$M(M-\alpha E)=\beta (M-\alpha E)$

(3)　(2)で与えられた式は，$\alpha$と$\beta$を入れ換えても成り立つ．このことと(2)の結果を用いて$M^n$を求めよ．ただし$n$は正の整数とする．

(4)　$n$年後に$\mathrm{A}$町と$\mathrm{B}$町それぞれに住んでいる住民の数を$a_n$と$b_n$とで表す．このとき，つぎの極限を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$

【２】　媒介変数${\theta }_1$および${\theta }_2$で表される$2$つの曲線

• $C_1:\{\begin{array}{l}x=\cos {\theta }_1\\ y=\sin {\theta }_1\end{array}(0<{\theta }_1<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$
• $C_2:\{\begin{array}{l}x=\cos {\theta }_2\\ y=3\sin {\theta }_2\end{array}(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<{\theta }_2<0)$

がある．

　$C_1$上の点${\mathrm{P}}_1$と$C_2$上の点${\mathrm{P}}_2$が，

${\theta }_1={\theta }_2+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

の関係を保って移動する．

　曲線$C_1$の点${\mathrm{P}}_1$における接線と，曲線$C_2$の点${\mathrm{P}}_2$における接線の交点を$\mathrm{P}$とし，これら$2$つの接線のなす角$\angle {\mathrm{P}}_1\mathrm{P}{\mathrm{P}}_2$を$\alpha$とする．つぎの各問に答えよ．

(1)　直線${\mathrm{P}}_1\mathrm{P}$と$x$軸とのなす角を$\beta (0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{，}$直線${\mathrm{P}}_2\mathrm{P}$と$x$軸とのなす角を$\gamma (0<\gamma <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．$\tan \beta$および$\tan \gamma$を${\theta }_1$で表せ．

(2)　$\tan \alpha$を${\theta }_1$で表せ．

(3)　$\tan \alpha$の最大値と，最大値を与える${\theta }_1$を求めよ．

【３】　空間内の点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標をそれぞれ$(0,0,0)\text{，}(1,0,0)\text{，}(0,1,0)\text{，}(0,0,1)$とする．点$\mathrm{P}$は$x$軸上を点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{A}$へ向かって，点$\mathrm{Q}$は$y$軸上を点$\mathrm{B}$から点$\mathrm{O}$へ向かって，それぞれ時刻$t=0$に出発して速さ$1$で移動する．時刻$t\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$において三角形$\mathrm{CPQ}$を$z$軸のまわりに回転させてできる立体を考える．つぎの各問に答えよ．

(1)　時刻$t$において，$xy$平面上の線分$\mathrm{PQ}$を原点を中心にして$xy$平面上で$1$回転させたときに線分が通過する部分の面積を求めよ．

(2)　時刻$t$において，立体を平面$z=u\text{（}0\leqq u\leqq 1\text{）}$で切ったときの断面積$S(u)$を求め，立体の体積$V(t)$を求めよ．

(3)　$V(t)$の最小値と，最小値を与える$t$を求めよ．

【４】　コインを投げた結果に基づき$xy$平面上の点$\mathrm{Q}(x,y)$を動かすものとする．最初，点$\mathrm{Q}$は原点にあり，コインを投げて表がでれば$x$座標を$1$増加させ，裏が出れば$y$座標を$1$増加させる．点$\mathrm{Q}$が直線$x=a$あるいは直線$y=a$のいずれかの上に達するまでこの試行を繰り返す．つぎの各問に答えよ．ただし，$a$は正の整数であり，コインの表と裏の出る確率は等しいものとする．

(1)　コインを投げる回数$N$の最小値$K$と最大値$L$を$a$を用いて表せ．

(2)　$a=3$のとき，コインを投げる回数$N$が$4$である確率を求めよ．

(3)　任意の$a$に対して，コインを投げる回数$N$が$n\text{（}K\leqq n\leqq L\text{）}$である確率を求めよ．

(4)　(3)で求めた確率を$p_n$とする．${\displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n}}$を求めよ．ただし，$K\leqq n\leqq L-1$とする．

(5)　(4)の結果を利用し，コインを投げる回数$N$の期待値を$a$を用いて表せ．