2006　名古屋工業大学　前期MathJax

2006　名古屋工業大学　前期

易□　並□　難□

【１】　原点を $O$ とする座標空間内に $3$ 点 $A (3, 0, 0) ， B (0, 2, 0) ， C (p, q, 2)$ がある． $∠ AOC = \frac{π}{4} ， ∠ BOC = \frac{π}{3}$ であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $p ， q$ を求めよ．

(2)　三角形 $ABC$ の面積を求めよ．

(3)　原点 $O$ から $3$ 点 $A ， B ， C$ を通る平面に下ろした垂線の足を $H$ とする．線分 $OH$ の長さを求めよ．

2006　名古屋工業大学　前期

易□　並□　難□

【２】　初項が $a_{1} = 2$ である数列 ${a_{n}}$ について，初項から第 $n$ 項までの逆数の和 $R_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k}}$ は

$R_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n + 1} - 1} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

をみたしている．このとき次の問いに答えよ．

(1)　 $a_{2} ， a_{3}$ を求めよ．

(2)　 $n ≧ 2$ のとき $a_{n + 1}$ を $a_{n}$ を用いて表せ．

(3)　数学的帰納法により， $n ≧ 2$ のとき不等式 $a_{n} ≧ n + 1$ が成り立つことを示せ．

(4)　 $\lim_{n \to \infty} R_{n}$ を求めよ．

2006　名古屋工業大学　前期

易□　並□　難□

【３】　座標平面上に曲線

$C_{1} : y = e^{\sqrt{3} x}$

がある．点 $A (a, b)$ を中心とする半径 $r$ の円 $C_{2}$ は，点 $P (0, 1)$ において曲線 $C_{1}$ と接線を共有し，かつ $x$ 軸の正の部分と接している．円 $C_{2}$ と $x$ 軸との接点を $Q$ とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　 $a ， b$ および $r$ を求めよ．

(2)　点 $A$ を通り $x$ 軸に平行な直線と曲線 $C_{1}$ との交点を $B$ とする．曲線 $C_{1}$ と線分 $AB$ および弧 $PQ$ で囲まれた部分の面積を求めよ．

2006　名古屋工業大学　前期

易□　並□　難□

【４】　関数

$f (x) = 2 x + 5 \sin x - \frac{1}{2} \sin 2 x （ 0 ≦ x ≦ 2 π ）$

のグラフを曲線 $C$ とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　関数 $f (x)$ の極値とそのときの $x$ の値とを求めよ．

(2)　曲線 $C$ の変曲点を求めよ．

(3)　曲線 $C$ の変曲点における $C$ の接線を $l$ とする．曲線 $C ，$ 接線 $l$ および $y$ 軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．