2006　京都大学　前期MathJax

【１】　放物線$C:y=x^2$と$2$直線$l_1:y=px-1\text{，}{l}_2:y=-x-p+4$は$1$点で交わるという．このとき実数$p$の値を求めよ．

【２】　座標空間に$4$点$\mathrm{A}(2,1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0,1)\text{，}\mathrm{C}(0,1,2)\text{，}\mathrm{D}(1,3,7)$がある．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面に関して点$\mathrm{D}$と対称な点を$\mathrm{E}$とするとき，点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

【３】　$Q(x)$を$2$次式とする．整式$P(x)$は$Q(x)$では割り切れないが，${\{P(x)\}}^2$は$Q(x)$で割り切れるという．このとき$2$次方程式$Q(x)=0$は重解を持つことを示せ．

【４】　関数$y=f(x)$のグラフは，座標平面で原点に関して点対称である．さらにこのグラフの$x\leqq 0$の部分は，軸が$y$軸に平行で，点$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{4}})$を頂点とし，原点を通る放物線と一致している．このとき$x=-1$におけるこの関数のグラフの接線とこの関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ．

【５】　$n\text{，}k$は自然数で$k\leqq n$とする．穴のあいた$2k$個の白玉と$2n-2k$個の黒玉にひもを通して輪を作る．このとき適当な$2$箇所でひもを切って$n$個ずつの$2$組に分け，どちらの組も白玉$k$個，黒玉$n-k$個からなるようにできることを示せ．

【２】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の$3$点を$\mathrm{A}(0,1,2)\text{，}\mathrm{B}(2,3,0)\text{，}\mathrm{P}(5+t,9+2t,5+3t)$とする．線分$\mathrm{OP}$と線分$\mathrm{AB}$が交点を持つような実数$t$が存在することを示せ．またそのとき，交点の座標を求めよ．

【４】　$2$以上の自然数$n$に対し，$n$と$n^2+2$がともに素数になるのは$n=3$の場合に限ることを示せ．

【５】　$▵\mathrm{ABC}$に対し，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$を，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を，辺$\mathrm{CA}$上に点$\mathrm{R}$を，頂点とは異なるようにとる．この$3$点がそれぞれ辺上を動くとき，この$3$点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示せよ．

【６】　$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$として，関数$F$を

$F(\theta )={\displaystyle {\int }_0^{\theta }}x\cos (x+\alpha )dx$

で定める．$\theta$が$[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$の範囲を動くとき，$F$の最大値を求めよ．