2006　京都大学　後期MathJax

【１】　さいころを$n$個同時に投げるとき，出た目の数の和が$n+2$になる確率を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$が成り立っているとき，この三角形は正三角形であることを示せ．

【３】　$1$次式$A(x)\text{，}B(x)\text{，}C(x)$に対して${\{A(x)\}}^2+{\{B(x)\}}^2={\{C(x)\}}^2$が成り立つとする．このとき$A(x)$と$B(x)$はともに$C(x)$の定数倍であることを示せ．

【４】　$n$を自然数とし，$xy$平面の次の領域

$D_n=\left\{(x,y)\right|{\displaystyle \frac{x}{n+{\displaystyle \frac{1}{2}}}}\leqq y\leqq [x+1]-x\text{，}x\geqq 0\}$

を考える．ただし，記号$[x]$は$x$より大きくない最大の整数を表すものとする．このとき$D_n$の面積を求めよ．

【５】　$\tan 1°$は有理数か．

【２】　$a$を実数として，行列$A$を$A=\left(\begin{array}{cc}a& 1-a\\ 1-a& a\end{array}\right)$と定める．$\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$とし，数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$を次の式で定める．

$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_{n-1}\\ y_{n-1}\end{array}\right)\text{，}n=1\text{，}2\text{，}\cdots$

　このとき数列$\{x_n\}$が収束するための$a$の必要十分条件を求めよ．

【３】　さいころを$n$個同時に投げるとき，出た目の数の和が$n+3$になる確率を求めよ．

【４】　平面上の点$\mathrm{O}$を中心とし半径$1$の円周上に相異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$がある．$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径$r$は${\displaystyle \frac{1}{2}}$以下であることを示せ．

【５】　$H>0\text{，}R>0$とする．空間内において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}(R,0,H)$を結ぶ線分を，$z$軸のまわりに回転させてできる容器がある．この容器に水を満たし，原点から水面までの高さが$h$のとき単位時間あたりの排水量が，$\sqrt{h}$となるように，水を排出する．すなわち，時刻$t$までに排出された水の総量を$V\left(t\right)$とおくとき，${\displaystyle \frac{dV}{dt}}=\sqrt{h}$が成り立つ．このときすべての水を排出するのに要する時間を求めよ．