2006 大阪大学 前期MathJax

Mathematics

Examination

Test

Archives

2006 大阪大学 前期

文系(文,人間科,法,経済,医(保健(看護学))

配点率35%

易□ 並□ 難□

【1】  a を実数とし,関数

f(x )=x 3-3 ax +a

を考える. 0x 1 において

f(x )0

となるような a の範囲を求めよ.

2006 大阪大学 前期

文系(文,人間科,法,経済,医(保健(看護学))

配点率30%

易□ 並□ 難□

【2】 自然数 m n 0< a<1 を満たす実数 a を,等式

log2 6= m+ 1n+ a

が成り立つようにとる.以下の問いに答えよ.

(1) 自然数 m n を求めよ.

(2) 不等式 a> 2 3 が成り立つことを示せ.

2006 大阪大学 前期

文系(文,人間科,法,経済,医(保健(看護学))

配点率35%

易□ 並□ 難□

【3】  xy 平面上の点 A (1 ,2) を通る直線 l x 軸, y 軸とそれぞれ点 P Q で交わるとする.点 R

OP +OQ = OA +OR

を満たすようにとる.ただし, O xy 平面の原点である.このとき,直線 l の傾きにかかわらず,点 R はある関数 y =f (x ) のグラフ上にある.関数 f (x ) を求めよ.

2006 大阪大学 前期

理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬,工,基礎工学部)

配点率20%

易□ 並□ 難□

【1】 曲線 y= xsin 2x と直線 y= x の共有点のうち, x 座標が正のものを, x 座標が小さいものから順に A 1 A2 A 3 とし,第 n 番目の点を A n とする.以下の問いに答えよ.

(1) 点 A n x 座標を求めよ.また,点 A n において,曲線 y= xsin 2x と直線 y =x は接していることを示せ.

(2) 線分 A nA n+1 と曲線 y= xsin 2x で囲まれる部分の面積を求めよ.

2006 大阪大学 前期

理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬,工,基礎工学部)

配点率20%

易□ 並□ 難□

【2】 直線 y= x l で,直線 y= -x l で表す.直線 l l のどちらの上にもない点 A (a, b) をとる.点 A を通る直線 m 2 直線 l l とそれぞれ点 P P で交わるとする.点 Q

OP +O P =OA + OQ

を満たすようにとる.ただし, O xy 平面の原点である.直線 m を変化させるとき,点 Q の軌跡は l l を漸近線とする双曲線となることを示せ.

2006 大阪大学 前期

理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬,工,基礎工学部)

配点率20%

易□ 並□ 難□

【3】  x y を変数とする.

(1)  n を自然数とする.次の等式が成り立つように定数 a b を定めよ.

(2) すべての自然数 n について,次の等式が成り立つことを証明せよ.

n !x (x+1 ) (x+ n) = r =0n (-1 )r Cr n x+ r

2006 大阪大学 前期

理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬,工,基礎工学部)

配点率20%

易□ 並□ 難□

【4】 三角形 OAB の辺 OA OB 上に,それぞれ点 P Q をとり

OP =a OA OQ = bOB 0 <a< 1 0< b<1

とする.三角形 OAB の重心 G が三角形 OPQ の内部に含まれるための必要十分条件を a b を用いて表せ.また,その条件を満たす点 (a ,b) はどのような範囲にあるかを座標平面上に図示せよ.ただし,三角形 OPQ の辺上の点は,三角形 OPQ の内部に含まれないと考える.

2006 大阪大学 前期

理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬,工,基礎工学部)

配点率20%

易□ 並□ 難□

【5】 一辺の長さが 1 の正方形 ABCD の辺 BC CD DA AB 上に,それぞれ点 P Q R S

APB= QPC PQC =RQD QRD= SRA

となるようにとる.ただし,点 P Q R S は,どれも正方形 ABCD の頂点とは一致しないものとする.

 以下の問いに答えよ.

(1) 線分 BP の長さ t のとりうる値の範囲を求めよ.

(2) 直線 AP と直線 RS の交点を T とする.四角形 PQRT の面積を線分 BP の長さ t についての関数と考えて f (t ) で表す. f( t) の最大値を求めよ.

inserted by FC2 system