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2006-10561-0101
2006 大阪大学 前期
文系(文,人間科,法,経済,医(保健(看護学))
配点率35%
易□ 並□ 難□
【1】 a を実数とし,関数
f⁡(x )=x 3-3 ⁢a⁢x +a
を考える. 0≦x≦ 1 において
f⁡(x )≧0
となるような a の範囲を求めよ.
2006-10561-0102
配点率30%
【2】 自然数 m , n と 0< a<1 を満たす実数 a を,等式
log2 ⁡6= m+ 1n+ a
が成り立つようにとる.以下の問いに答えよ.
(1) 自然数 m , n を求めよ.
(2) 不等式 a> 2 3 が成り立つことを示せ.
2006-10561-0103
【3】 xy 平面上の点 A (1 ,2) を通る直線 l が x 軸, y 軸とそれぞれ点 P , Q で交わるとする.点 R を
OP→ +OQ →= OA→ +OR →
を満たすようにとる.ただし, O は xy 平面の原点である.このとき,直線 l の傾きにかかわらず,点 R はある関数 y =f⁡ (x ) のグラフ上にある.関数 f ⁡(x ) を求めよ.
2006-10561-0104
理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬,工,基礎工学部)
配点率20%
【1】 曲線 y= x⁢sin 2⁡x と直線 y= x の共有点のうち, x 座標が正のものを, x 座標が小さいものから順に A 1 , A2 , A 3 , ⋯ とし,第 n 番目の点を A n とする.以下の問いに答えよ.
(1) 点 A n の x 座標を求めよ.また,点 A n において,曲線 y= x⁢sin 2⁡x と直線 y =x は接していることを示せ.
(2) 線分 A nA n+1 と曲線 y= x⁢sin 2⁡x で囲まれる部分の面積を求めよ.
2006-10561-0105
【2】 直線 y= x を l で,直線 y= -x を l ′ で表す.直線 l , l′ のどちらの上にもない点 A (a, b) をとる.点 A を通る直線 m が 2 直線 l , l′ とそれぞれ点 P , P′ で交わるとする.点 Q を
OP→ +O P′ → =OA →+ OQ→
を満たすようにとる.ただし, O は xy 平面の原点である.直線 m を変化させるとき,点 Q の軌跡は l と l ′ を漸近線とする双曲線となることを示せ.
2006-10561-0106
【3】 x ,y を変数とする.
(1) n を自然数とする.次の等式が成り立つように定数 a ,b を定めよ.
(2) すべての自然数 n について,次の等式が成り立つことを証明せよ.
n !x⁢ (x+1 )⁢⋯ ⁢(x+ n) = ∑r =0n ⁡ (-1 )r ⁢ Cr n x+ r
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【4】 三角形 OAB の辺 OA , OB 上に,それぞれ点 P , Q をとり
OP→ =a⁢ OA→ ,OQ →= b⁢OB → ( 0 <a< 1 ,0< b<1 )
とする.三角形 OAB の重心 G が三角形 OPQ の内部に含まれるための必要十分条件を a , b を用いて表せ.また,その条件を満たす点 (a ,b) はどのような範囲にあるかを座標平面上に図示せよ.ただし,三角形 OPQ の辺上の点は,三角形 OPQ の内部に含まれないと考える.
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【5】 一辺の長さが 1 の正方形 ABCD の辺 BC , CD ,DA , AB 上に,それぞれ点 P , Q ,R , S を
∠APB= ∠QPC ,∠PQC =∠RQD , ∠QRD= ∠SRA
となるようにとる.ただし,点 P , Q ,R , S は,どれも正方形 ABCD の頂点とは一致しないものとする.
以下の問いに答えよ.
(1) 線分 BP の長さ t のとりうる値の範囲を求めよ.
(2) 直線 AP と直線 RS の交点を T とする.四角形 PQRT の面積を線分 BP の長さ t についての関数と考えて f ⁡(t ) で表す. f⁡( t) の最大値を求めよ.