2006　大阪大学　後期MathJax

【１】　平面上に点$\mathrm{O}$を中心とする半径$5$と$10$の同心円$C_1\text{，}{C}_2$があり，$\mathrm{O}$から距離$2$のところに定点$\mathrm{A}$がある．動点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$がそれぞれ$C_1\text{，}{C}_2$上を一定の速さで反時計回りに動いている．ある時点で$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$がこの順に一直線に並び，また，${\mathrm{P}}_2$が$1$周する間に${\mathrm{P}}_1$は$2$周するものとする．$▵\mathrm{A}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の面積の最大値を求めよ．ただし，$\mathrm{A}\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$が一直線上にある場合は面積を$0$とみなす．

【２】　放物線$y=x^2$上の相異なる$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$は$▵\mathrm{PQR}$が正三角形になるように動いている．

(1)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の$x$座標を$p\text{，}q\text{，}r$とするとき，$p^2+q^2+r^2$を$pq+qr+rp$のみで表せ．

(2)　$▵\mathrm{PQR}$の重心はある一つの放物線上にあることを示せ．

【３】　$a>1$とする．曲線$y=\tan x(0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と直線$y=ax$によって囲まれた部分の面積を$S$とする．極限

$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S}{a}}$

を求めよ．ただし$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$を証明なしに用いてもよい．

【４】　$n\text{，}m$を自然数とする．二つの袋$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，袋$\mathrm{A}$には$n$個，袋$\mathrm{B}$には$m$個の玉が入っている．それぞれの玉には$1$以上$n$以下の整数が一つずつ書かれている．袋$\mathrm{A}$の玉に書かれている数字には重複がない．一方，袋$\mathrm{B}$の玉に書かれている数字には重複があり得る．袋$\mathrm{B}$の$m$個の玉に書かれている数字を$x_1\text{，}\cdots \text{，}{x}_m$とする．

　袋$\mathrm{A}$と袋$\mathrm{B}$からそれぞれ$1$個ずつ玉を取り出し，書かれている数字を比較する．袋$\mathrm{A}$から取り出した玉に書かれている数字が袋$\mathrm{B}$から取り出した玉に書かれている数字より大きくなる確率を$p\text{，}$袋$\mathrm{A}$から取り出した玉に書かれている数字が袋$\mathrm{B}$から取り出した玉に書かれている数字より小さくなる確率を$q$とする．

(1)　$m=2$のとき，$p$と$q$を$x_1\text{，}{x}_2$および$n$で表せ．

(2)　$m=n$のとき，$p=q$となるための$x_1\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$についての条件を求めよ．