2006　神戸大学　後期MathJax

【１】　$a$を正の実数として，$xy$平面において，原点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$定点$\mathrm{A}(a,0)$を考える．次の問に答えよ．

(1)　条件$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=\sqrt{2}:1$を満たす点$\mathrm{P}(x,y)$の全体の描く曲線を$C$とするとき，$C$の方程式を求めよ．

(2)　上の曲線$C$と直線$y=-x+2k$が共有点をもたないような実数$k$の範囲を求めよ．

(3)　$k$は(2)の条件を満たす定数とする．このとき，曲線$C$上の点と直線$y=-x+2k$の距離の最小値を求めよ．

【２】　$a$を実数とする．関数$f(x)={(x-a)}^2-|x|$の最小値を$a$の式で表せ．

【３】　$d>1$を満たす実数$d$を固定して，次の漸化式を満たす数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots$を考える．

$a_{n+1}=(1-{\displaystyle \frac{1}{d}})a_n+\left[{\displaystyle \frac{a_n}{d}}\right]\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

ただし，実数$x$に対して，$[x]$は$x$以下の最大の整数を表す．また，整数$m$と，$0\leqq r<d$を満たす実数$r$を用いて初項を$a_1=md+r$と表す．次の問に答えよ．

(1)　すべての$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して$md\leqq a_n\leqq a_1$が成立することを示せ．

(2)　一般項$a_n$を，$d\text{，}m\text{，}r$と$n$を用いて表せ．

【１】　$2\times 2$の零行列と単位行列を，それぞれ$O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\text{，}I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$で表す．$a\text{，}b$を実数とし，$A=\left(\begin{array}{cc}0& a\\ 1& b\end{array}\right)$とおく．また，$X=xI+yA$（$x\text{，}y$は実数）の形に表される$2\times 2$行列$X$全体のなす集合を$\mathrm{S}$とする．次の問に答えよ．

(1)　集合$\mathrm{S}$に属する任意の$2$つの行列の積は$\mathrm{S}$に属することを示せ．

(2)　集合$\mathrm{S}$に属する行列のうち$O$以外のものすべてが逆行列をもつための$a\text{，}b$の条件を求めよ．

【２】　次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)=2|x(x^2-1)|$のグラフの概形を描け．

(2)　$k$を実数とするとき，方程式$2|x(x^2-1)|=k-|x|$の解の個数を$k$の値に応じて求めよ．

【３】　$a\text{，}b$を実数の定数とし，$f_1(x)=ax+b$とおく．これを出発点にして，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して順に，$x{f}_n(n)$を${(x-1)}^2$で割ったときの商を$c_n\text{，}$余りを$f_{n+1}(x)$と定義する．次の問に答えよ．

(1)　$f_n(x)$を求めよ．

(2)　$x\ne 0$に対して次の等式が成立することを示せ．

${(x-1)}^2{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{c_k}{x^k}}=f_1(x)-{\displaystyle \frac{f_{n+1}(x)}{x^n}}$

【４】　不等式

$-\sin x\leqq y\leqq \cos 2x\text{，}0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

で定義される$xy$平面内の領域を$K$とおく．次の問に答えよ．

(1)　$K$の面積を求めよ．

(2)　$K$を$x$軸のまわりに回転して得られる回転体の体積を求めよ．

【５】　次の問に答えよ．

(1)　相異なる自然数$a\text{，}b\text{，}c$について，$|a-b|+|b-c|$が偶数であることと，$|a-c|$が偶数であることは同値である．このことを示せ．

(2)　$1$から$5$までの番号をつけた$5$枚の札から，$1$枚ずつ抜き取り，戻さない試行を考える．取り出した札に書かれた番号を順に$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}e$とし

$X=|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|$

とおく．$X$が偶数となる確率を求めよ．