2006　岡山大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$x$の方程式${(x-{\displaystyle \frac{1}{x}})}^2-3(x-{\displaystyle \frac{1}{x}})+2=0$の実数解をすべて求めよ．

(2)　$t=x-{\displaystyle \frac{1}{x}}$とするとき，${(x-a)}^2+{({\displaystyle \frac{1}{x}}+a)}^2$を$a$と$t$の式で表せ．

(3)　座標平面上の円$C_1:{(x-a)}^2+{(y+a)}^2=r^2$と関数$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$のグラフ$C_2$が，ちょうど$2$個の共有点をもつとき，円$C_1$の半径$r$を$a$の式で表せ．

【２】　自然数$n\text{，}k$が$n\geqq k$をみたすとき，${}_{n}C_k$は二項係数を表す．次の問いに答えよ．

(1)　不等式$a>b>c$と等式${}_{a}C_3+{}_{b}C_2+{}_{c}C_1=29$をともにみたす$3$つの自然数の組$(a,b,c)$を$1$つ求めよ．

(2)　$n$を自然数とする．次の等式を証明せよ．

${}_{n+3}C_3={}_{n+2}C_3+{}_{n+1}C_2+{}_{n}C_1+1$

(3)　自然数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は$a>b>c>d$をみたすとする．このとき，次の不等式を証明せよ．

${}_{a}C_3>{}_{b}C_3+{}_{c}C_2+{}_{d}C_1$

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-|x|& \text{（}|x|\leqq 1\text{）}\\ 0& \text{（}|x|>1\text{）}\end{array}$

と定め，

$g(x)={\displaystyle {\int }_0^1}f(t-x)dt$

とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(2)　$g(1)$の値を求めよ．

(3)　$y=g(x)$のグラフの概形を描け．

【４】　座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(-b,0)$をとる．ただし，$b>0$とする．点$\mathrm{A}$を中心とし原点$\mathrm{O}(0,0)$を通る円$C_1$と，点$\mathrm{B}$を中心とし点$\mathrm{A}$を通る円$C_2$を描く．円$C_1$と円$C_2$との交点のうち第一象限にあるものを$\mathrm{P}$とし，三角形$\mathrm{POA}$において$\angle \mathrm{POA}$を$\theta$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の$x$座標を$b$の式で表せ．

(2)　$\sin \theta$を$b$の式で表せ．

(3)　点$\mathrm{B}$と直線$\mathrm{AP}$の距離が${\displaystyle \frac{20}{9}}$であるとき，$b$の値と$\sin \theta$の値を求めよ．

【１】　座標平面において，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線に垂直で$\mathrm{P}$を通る直線を，$\mathrm{P}$における$C$の法線とよぶ．双曲線$C_1:y={\displaystyle \frac{1}{x}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}(p,{\displaystyle \frac{1}{p}})$における$C_1$の法線の方程式を求めよ．ただし，$p\ne 0$とする．

(2)　点$\mathrm{Q}(q,-q)$を中心とする円$C_2$と$C_1$が，ちょうど$2$個の共有点をもつとき，円$C_2$の半径$r$を$q$の式で表せ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log (x+1)}{x}}$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．

(2)　実数$a\text{，}b$は$b>a>0$をみたすとする．このとき，次の不等式を証明せよ．

${(a+1)}^b>{(b+1)}^a$

【３】　行列$A_n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は次の関係式で定まるものとする．

$A_1=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)\text{，}{A}_n=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 2+{(-1)}^n\end{array}\right)A_{n-1}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b_3$の値を求めよ．

(2)　$b_{2n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を$n$の式で表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b_{2n+1}}{b_{2n}}}$の値を求めよ．

【４】　座標平面において，原点$\mathrm{O}(0,0)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とし，点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )$と点$\mathrm{Q}(\cos 3\theta ,\sin 3\theta )$における$C_1$の接線をそれぞれ$l_1\text{，}{l}_2$とする．ただし，${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$である．$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{R}(\alpha ,\beta )$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{R}$の座標$\alpha \text{，}\beta$を$\theta$の式で表せ．

(2)　$\theta$を${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の範囲で動かして得られる点$\mathrm{R}$の軌跡を$C_2$とする．このとき，直線$y=\sqrt{3}x$と曲線$C_2$と$y$軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．