2006　広島大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$\sqrt{7}$の小数部分を$p$とするとき，${\displaystyle \frac{3}{p}}-p$は整数であることを示し，その整数を求めよ．

(2)　$k>0$を定数とするとき，$x$についての方程式

${\log }_{3}x=kx$

が二つの実数解$a$と$3a$をもつとする．このとき，$k$の値と$a$の値を求めよ．

【２】　$a_1=1$と$a_{n+1}=3a_n-n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$によって定義される数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$p$と$q$を定数とする．数列$\{b_n\}$を$b_n=a_n+pn+q$によって定めると，$\{b_n\}$は公比$3$の等比数列になるとする．このとき，定数$p$と$q$の値を求めよ．

(2)　$a_n$を$n$の式で表せ．

(3)　数列$\{a_n\}$の和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を$n$の式で表せ．

【３】　図の一番上の点$\mathrm{A}$から玉を落とす．玉はそれぞれの分岐点において，確率$p$で左下に，確率$1-p$で右下に向かうものとする．また，この図の${\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_2$の段を$1$段目，${\mathrm{C}}_1\text{，}{\mathrm{C}}_1\text{，}{\mathrm{C}}_3$の段を$2$段目として段数を数えるものとする．$0<p<1$として，次の問いに答えよ．

(1)　$2$段目の点${\mathrm{C}}_1\text{，}{\mathrm{C}}_2\text{，}{\mathrm{C}}_3$に対して，玉がその点に落ちてくる確率を求めよ．

(2)　$2$段目の点のうち，点${\mathrm{C}}_2$に玉が落ちてくる確率が，他の点${\mathrm{C}}_1\text{，}{\mathrm{C}}_3$の各点に落ちてくる確率のいずれよりも大きくなるとする．このとき，$p$の値の範囲を求めよ．

(3)　$3$段目の点のうち，点${\mathrm{D}}_3$に玉が落ちてくる確率が，他の点${\mathrm{D}}_1\text{，}{\mathrm{D}}_2\text{，}{\mathrm{D}}_4$の各点に落ちてくる確率のいずれよりも大きくなるとする．このとき，$p$の値の範囲を求めよ．

【４】　平面上で，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は直交し，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=1$を満たすとする．線分$\mathrm{AB}$を$3$等分し，図のように，$\mathrm{A}$に近い点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{B}$に近い点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\angle \mathrm{AOP}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{POQ}=\beta$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\cos \alpha \text{，}\cos \beta$の値を求めよ．

(2)　$\alpha <30°<\beta$を示せ．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$上に，点$\mathrm{R}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=k\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-k)\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

となるようにとる．このとき，${\left|\overrightarrow{\mathrm{OR}}\right|}^2$を$k$の式で表せ．

(4)　(3)の$\mathrm{R}$に対して，$\angle \mathrm{POR}=\alpha$となるとき，$k$の値を求めよ．

【５】　直線$y=-2x+m$が，放物線$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+ax\text{（}a>2\text{）}$に点$\mathrm{P}(p,q)$で接している．連立不等式

$\{\begin{array}{l}0\leqq y\leqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+ax\\ x\leqq p\end{array}$

の表す領域の面積を$S_1$とする．また，連立不等式

$\{\begin{array}{l}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+ax\leqq y\leqq -2x+m\\ 0\leqq x\leqq p\end{array}$

の表す領域の面積を$S_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}m\text{，}q$を$p$の式で表せ．

(2)　$S_1$と$S_2$を$p$の式で表せ．

(3)　$a>2$のとき，${\displaystyle \frac{1}{2}}<{\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}<2$が成り立つことを示せ．

【１】　$3\times 3$行列$A$と$E$を

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A^2\text{，}{A}^3$を求めよ．

(2)　${(xA-E)}^3=xA-E$を満たす実数$x$のうち，正のものをすべて求めよ．

(3)　(2)で求めた$x$のうち最小のものを$x_0$とする．自然数$n$に対して，${(x_{0}A-E)}^n=p_{n}A+q_{n}E$を満たす実数$p_n$と$q_n$を求めよ．

【２】　$a_1=2\text{，}{a}_2=1$と$a_{n+2}=a_{n+1}+2a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$によって定義される数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$b_n=a_{n+1}+a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とするとき，数列$\{b_n\}$は公比$2$の等比数列であることを示せ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{(-1)}^{k-1}{b}_k$を$n$の式で表せ．

(3)　$a_n$を$n$の式で表せ．

(4)　数列$\left\{{\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}}}\right\}$の収束，発散を調べ，収束する場合はその極限値を求めよ．

【３】　正方形$\mathrm{OABC}$の対角線$\mathrm{AC}$を$3$等分し，図のように，$\mathrm{A}$に近い点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{C}$に近い点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\angle \mathrm{AOP}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{POQ}=\beta$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\cos \alpha \text{，}\cos \beta$の値を求めよ．

(2)　$\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{6}}<\beta$を示せ．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$上に点$\mathrm{R}$を$\angle \mathrm{POR}=\alpha$となるようにとる．このとき，比$\mathrm{AR}:\mathrm{RC}$を求めよ．

【４】　赤い袋に$1$から$n$までの整数を書いた玉が，それぞれ$1$個ずつ，合計$n$個入っている．同様に，白い袋に$1$から$n$までの整数を書いた玉が，それぞれ$1$個ずつ，合計$n$個入っている．ただし，$n>4$とする．赤い袋から玉を$2$個同時に取り出し，書いてある数を$r_1\text{，}{r}_2$とする．次に，白い袋から玉を$2$個同時に取り出し，書いてある数を$w_1\text{，}{w}_2$とする．

　座標平面上の$4$本の直線$x=r_1\text{，}x=r_2\text{，}y=w_1\text{，}y=w_2$で囲まれた四角形を$A$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A$の面積が$4$である確率を求めよ．

(2)　$|r_1-r_2|$の期待値を求めよ．

(3)　$n=7$のとき，$A$の面積の期待値を求めよ．

【５】　関数$f(x)=x+{\displaystyle \frac{x}{x^2-1}}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の増減と極値を調べて，$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　$y=f(x)$のグラフと直線$y=mx$の交点が，$3$個になるような$m$の値の範囲を求めよ．

(3)　$m<0$のとき，$y=f(x)$のグラフと直線$y=mx$で囲まれた二つの部分の面積の和を求めよ．