2006　九州大学　後期MathJax

【１】　$2$つの曲線$C_1:y=a{x}^2\text{，}{C}_2:x^2+{(y-p)}^2=r^2$が異なる$2$点で接するとする．ただし$a\text{，}p\text{，}r$を正の定数とする．

(1)　$p$を$a$と$r$の式で表せ．また，曲線$C_1$と$C_2$の接点の$x$座標$q$を$a$と$r$の式で表せ．ただし$q>0$とする．

(2)　$a\cdot r=1$のとき，曲線$C_1$と$C_2$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$つの袋があり，$\mathrm{A}$の袋には赤玉が$2$個，白玉が$5$個，$\mathrm{B}$の袋には赤玉が$m$個，白玉が$n$個入っている．ただし，$m$と$n$は$0$以上の整数で$m+n=4$とする．

(1)　$\mathrm{A}$の袋から$3$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉が$2$個，白玉が$1$個である確率$P_1$を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$の袋から$3$個の玉を取り出し，それらを$\mathrm{B}$の袋に入れる．その後$\mathrm{B}$の袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉が$1$個，白玉が$1$個である確率$P_2$を求めよ．

(3)　確率$P_2$が最大となる$m$と$n$の値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を

$a_1\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{2a_n}{5a_n+c}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．ただし，$c$は$0\leqq c<2$を満たす定数とする．

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とおくとき，

$b_{n+1}-p{b}_n=q\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

となる定数$p\text{，}q$を$c$の式で表せ．

(2)　$a_n$を$n$と$c$の式で表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を$c$の式で表せ．

【４】　平面上に異なる$n$個の点$(x_1,y_1)\text{，}(x_2,y_2)\text{，}\cdots \text{，}(x_n,y_n)$を考える．ただし，$x_k>0\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$とする．また，次の関数$f(a)$の最小値を与える$a$を$a_0$とする．

$f(a)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(a{x}_k-y_k)}^2$

(1)　$a_0$を求めよ．

(2)　$n$個の点のいずれも，直線$y=a_{0}x$上にはないものとする．このとき，$n$個の点のうち少なくとも$1$点は直線$y=a_{0}x$の上側にあることを示せ．

(3)　$x_k=bk\text{，}{y}_k=c\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$とする．ここで，$b\text{，}c$は正の定数である．このとき，$n$個の点のうちの$1$点が直線$y=a_{0}x$上にあるための条件は，$b\text{，}c$によらない条件であることを示せ．

【５】　行列

$A=\left(\begin{array}{cc}15& 6\\ 6& 10\end{array}\right)$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　方程式

$\{\begin{array}{lll}15x+6y& =& \lambda x\\ 6x+10y& =& \lambda y\end{array}$

が$x=y=0$以外の解をもつときの$\lambda$の値を$2$つ求めよ．

(2)　(1)で求めた$\lambda$の$2$つの値を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha >\beta \text{）}$とするとき，

$AT=T\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \beta \end{array}\right)$

を満たし，逆行列をもつ行列$T$を$1$つ求め，その逆行列$T^{-1}$を求めよ．

(3)　$A^n$を求めよ．

(4)　$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$を$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$でない列ベクトルとし，

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

とする．このとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{y_n}{x_n}}$

を求めよ．ただし，$x_n\ne 0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$と仮定する．