2006　名古屋市立大　前期MathJax

【１】　放物線$C_1:y=2x^2+ax+b$と$C_2:y=-x^2$は点$\mathrm{A}(1,-1)$で接する．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　$C_1$と$2$点で交わる直線を$l$とする．$l$が$\mathrm{A}$を通るとき，$l$と$C_1$とで囲まれた部分の面積を$S_1\text{，}l$と$C_2$とで囲まれた部分の面積を$S_2$とする．比$S_1:S_2$を求めよ．

【２】　$1$または$2$と書かれたカードを何枚か用意する．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}2$人のプレイヤーは各自が持っている中からカードを$1$枚同時かつ無作為に出して，その和が偶数のときは$\mathrm{A}$の勝ち，奇数のときは$\mathrm{B}$の勝ちとし，勝った方は自分の出したカードの数字を得点とする．この規則で$1$回ゲームをするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$ともに$1$と$2$と書かれたカードを$1$枚ずつ持っている．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$それぞれの得点の期待値を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$は$1$と書かれたカードを$1$枚，$2$と書かれたカードを$2$枚持ち，$\mathrm{B}$は$1$と書かれたカードを$2$枚，$2$と書かれたカードを$1$枚持っている．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$それぞれの得点の期待値を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$は$1$と書かれたカードを$p$枚，$2$と書かれたカードを$N-p$枚持ち，$\mathrm{B}$は$1$と書かれたカードを$q$枚，$2$と書かれたカードを$N-q$枚持っている．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$それぞれの得点の期待値が等しくなるときはどのような場合か．ただし，$N$は自然数とし，$p\text{，}q$は共に$0$以上$N$以下の整数とする．

【３】　台形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}⫽\mathrm{DC}$とし，$2$つの対角線$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BD}$は交点$\mathrm{E}$で直交している．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$を$\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{q}$として，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{q}$を用いて表せ．

(2)　三角形$\mathrm{ABE}$と台形$\mathrm{ABCD}$との面積比を$\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{q}$を用いて表せ．

【４】　数列$1,1,3,1,3,5,1,3,5,7,1,3,5,7,9,1,\cdots$において，次の問いに答えよ．ただし，$k\text{，}m\text{，}n$は自然数とする．

(1)　$k+1$回目に現れる$1$は第何項か．

(2)　$m$回目に現れる$17$は第何項か．

(3)　初項から$k+1$回目の$1$までの項の和を求めよ．

(4)　初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_n>1300$となる最小の$n$を求めよ．