2006　名古屋市立大　後期経済学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　${100}^{97}$と${99}^{100}$の大小を調べそれを証明せよ．ただし常用対数${\log }_{10}3=0.477$とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$において，$a+d=-1\text{，}ad-bc=1$のとき，$A^3=E$を示せ．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．

【２】　点$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面において，点$(2,-3)$から出発し曲線$y=1-x^2$上を動く点$\mathrm{P}$と点$(3,-1)$から出発し$y=2-|x|$上を動く点$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は同時に出発し，それぞれの$x$座標の値が毎秒$1$の割合で減少する．$t$秒後（$t>0$）のベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の内積を$f(t)$とするとき，$z=f(t)$のグラフを描け（極値，変曲点も明示すること）．また$2$つのベクトルが直交するときの$t$の値を求めよ．

【３】　図のような四角の経路をコインを投げて表なら$2\text{，}$裏なら$1$だけ時計回りに進むゲームを考える．地点$0$から出発し再び$0$に停まった時点でゲームは終了する．ちょうど$n$周でゲームが終了する確率を$p_n\text{，}n$周目までにゲームが終了する確率を$S_n$とする．特に$S_1=p_1$である．次の問いに答えよ．

(1)　確率$p_1\text{，}{p}_2$を求めよ．

(2)　$p_{n+1}$を$S_n$で表せ（$n\geqq 1$）．

(3)　$p_n$を求めよ．

【４】　以下で定義される数列$\left\{a_n\right\}$がある．

$a_n=(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})(1+{\displaystyle \frac{2}{n}})\cdots (1+{\displaystyle \frac{n}{n}})\text{，}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }\log \sqrt[n]{a_n}$を区分求積法を利用して求め，$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a_n}$を求めよ．