2006　大阪府立大学　前期MathJax

【１】　$1$から$n$までの自然数が重複なく書かれた$n$枚のカードがある．この$n$枚のカードから$1$枚カードを引き，書かれている数を記録し，カードをもどすという試行を$k$回行う．記録された$k$個の数の最大値を得点とする．以下の問いに答えよ．ただし，$m$は自然数とする．

(1)　得点が$m$以上である確率$p(m)$を，$m\text{，}n\text{，}k$を用いて表せ．

(2)　得点が$m$である確率$q(m)$を，$m\text{，}n\text{，}k$を用いて表せ．

(3)　$k$が$2$のとき，得点の期待値を$n$を用いて表せ．

【２】　$x\text{，}y\text{，}z$を$0$でない$3$つの実数とする．$A=x+y+z\text{，}B=xy+yz+zx\text{，}C=xyz$とおき，以下の命題を考える．

(p)　$A=0$ならば，$B<0$である．

(q)　$A\text{，}B\text{，}C$がすべての正ならば，$x\text{，}y\text{，}z$はすべて正である．

(r)　$x\text{，}y\text{，}z$の$1$つだけが正ならば，$A<0$または$B\leqq 0$である．

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　(p)が成り立つことを証明せよ．

(2)　(q)が成り立つことを仮定して(r)がなりたつことを証明せよ．

(3)　(q)がなりたつことを証明せよ．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}\angle \mathrm{A}=45°\text{，}\angle \mathrm{B}=60°$とする．$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{D}\text{，}\angle \mathrm{B}$の$2$等分線と$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{E}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．

(2)　$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+l\overrightarrow{\mathrm{AC}}$となる$k\text{，}l$を求めよ．

(3)　直線$\mathrm{CH}$と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{F}$とするとき，$▵\mathrm{AFE}$の面積を求めよ．

【３】　$t$を実数とし，$\alpha \text{，}\beta$を$2$次方程式$x^2-tx-1=0$の$2$つの解とする．自然数$n$に対して，$a_n={\alpha }^n+{\beta }^n$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_3\text{，}{a}_4$を$t$を用いて表せ．

(2)　$a_{n+2}$を$a_n\text{，}{a}_{n+1}\text{，}t$を用いて表せ．

(3)　$a_n$は係数が整数となる，$t$の$n$次多項式として表されることを示せ．

(4)　$a_n$を$t$の多項式として表したときの$t^{n-2}$の係数を求めよ．ただし，$n$は$3$以上の整数とする．

【４】　放物線$C:y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$上の$2$つの点$\mathrm{P}(2p,p^2)\text{，}\mathrm{Q}(2q,q^2)\text{（}p<q\text{）}$における接線をそれぞれ$l_1\text{，}{l}_2$とし，$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)　$\angle \mathrm{PRQ}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(2)　$\angle \mathrm{PRQ}=\theta$が常に${\displaystyle \frac{3}{4}}\pi$であるように$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，$\mathrm{R}$が描く曲線の方程式を求めよ．

(3)　(2)の$\mathrm{R}$が描く曲線と$x$軸で囲まれた領域の面積を求めよ．なお，積分の計算をする際に，必要ならば$x=\sqrt{2}(t-{\displaystyle \frac{1}{t}})\text{（}t>0\text{）}$とおいて置換積分せよ．

【４】　$b\text{，}k$を正の実数とする．放物線$C:y=-x^2+bx$と直線$l:y=(b-k)x$が原点$\mathrm{O}$以外に，第$1$象限の点$\mathrm{A}$で交わるとする．$\mathrm{B}$は$C$上の点で，$\mathrm{B}$における$C$の接線の傾きが$k$であるとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{B}$の座標と$\mathrm{B}$における$C$の接線の方程式を求めよ．

(3)　$y$軸，$\mathrm{B}$における$C$の接線，放物線$C$で囲まれた領域の面積を求めよ．

【１】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間にある四面体$\mathrm{ABCD}$において，面$\mathrm{BCD}\text{，}\mathrm{ACD}\text{，}\mathrm{ABD}\text{，}\mathrm{ABC}$の重心をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$とする．

(1)　点$\mathrm{O}$を基準とする点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{d}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(2)　四面体$\mathrm{ABCD}$と四面体$\mathrm{PQRS}$の体積の比を求めよ．

【２】　中の見えない袋の中に同じ大きさの白球$3$個，赤球$2$個，黒球$1$個が入っている．この袋から$1$球ずつ球を取り出し，黒球を取り出したとき袋から球を取り出すことをやめる．ただし，取り出した球はもとに戻さない．この試行を行うとき，以下の問いに答えよ．

(1)　取り出した球の中に，赤球がちょうど$2$個含まれる確率を求めよ．

(2)　取り出した球の中に，赤球より白球が多く含まれる確率を求めよ．

【３】　曲線$C$は媒介変数$\theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を用いて

$x=\cos \theta +\theta \sin \theta \text{，}y=\cos \theta$

と表されており，右図のような形をしている．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対して${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　曲線$C$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】　$a$を定数とし，$f_1(x)=x^2-10x+a$とおく．関数$f_2(x)\text{，}{f}_3(x)\text{，}\cdots$は

$f_{n+1}(x)={\displaystyle \frac{3}{x+1}}{\displaystyle {\int }_1^{x+2}}{f}_n(t)dt\text{（}x>0\text{）}$

で定められている．

(1)　$f_2(x)$を求めよ．

(2)　$n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots$に対し，$f_n(x)$を求めよ．