2006　学習院大学　経済学部MathJax

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$は

$\mathrm{AB}=5\text{，}\mathrm{AC}=6\text{，}\mathrm{BC}=7$

を満たすとする．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$を取り，$\mathrm{AP}=t$とおく$\text{（}0<t<5\text{）．}$また，辺$\mathrm{AC}$の$\mathrm{C}$の側への延長上に点$\mathrm{Q}$を，三角形$\mathrm{ABC}$の面積と三角形$\mathrm{APQ}$の面積が等しくなるように取り，$\mathrm{BC}$と$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{M}$とする．

　$\mathrm{BM}$の長さおよび$\mathrm{AQ}$の長さを$t$で表せ．

【２】　$n$を$3$以上の自然数とするとき

${\displaystyle \sum _{k=3}^n}{}_{k}C_3={}_{n+1}C_4$

が成り立つことを示せ．

【３】　$3$個のサイコロ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を同時に投げて出る目の数をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$とし，$a$と$b$の最大値を$X$とおき，さらに$X$と$c$の最小値を$Y$とおく．

(1)　$Y=3$となる確率を求めよ．

(2)　$Y$の期待値を求めよ．

【４】　$b<a^2$のとき，点$\mathrm{P}(a,b)$から放物線$C:y=x^2$に引いた$2$本の接線が$C$に接する点を${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$とする．

(1)　直線${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$に平行な$C$の接線の接点を$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　線分${\mathrm{P}}_1\mathrm{Q}$と放物線$C$とで囲まれた部分の面積を$S_1$とし，線分$\mathrm{Q}{\mathrm{P}}_2$と放物線$C$とで囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1+S_2$を$a\text{，}b$で表せ．