2006　学習院大学　文学部MathJax

【１】　次の$5$つの数を小さい順に並べよ．

$\sqrt{2}\text{，}\sqrt[3]{9}\text{，}{\displaystyle \frac{11}{7}}\text{，}\sqrt{5}-\sqrt{3}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}$

【２】　白球$4$個と赤球$2$個が入った袋がある．そこから球を$1$個ずつ取り出していき赤球が出たらそこで取り出すのを止める．ただし，$1$度取り出した球はもとに戻さないものとする．取り出された白球の個数の期待値を求めよ．

【３】　$x$についての$3$次方程式

$x^3-1-2(x^2-x)\cos \theta +(x-1){\sin }^2\theta =0$

の解を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とする．$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$が相異なる$3$つの実数となるように$\theta$を動かすとき，${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2$の取る値の範囲を求めよ．

【４】　$a$を実数とし

$f(x)=x^2-2ax+a^2-a+3$

とおく．

(1)　$0\leqq x\leqq 2$のとき$f(x)>0$であることを示せ．

(2)　放物線$y=f(x)$と$2$直線$x=0\text{，}x=2$および$x$軸とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(3)　$S$の最小値と，最小値を与える$a$の値を求めよ．