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2006-13338-0101
2006 慶応義塾大学 看護医療学部
2月13日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の にあてはまる最も適当な数を解答欄に記入しなさい.
(1) 関数 y= 2⁢sin⁡ (θ + π3 )+ sin⁡θ ( 0≦ θ<2⁢ π) の最大値は (ア) である.
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(2) x の 3 次方程式 x2 ⁢(x- 3)=a がちょうど 2 個の異なる実数解をもつとき,定数 a の値は a= 0 または a= (イ) である.
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(3) 「あ」,「い」,「う」,「え」,「お」,「か」,「き」,「く」,「け」,「こ」の文字の書かれた 10 枚のカードがある.この中から 4 枚のカードを選ぶ選び方のうち,「け」,「い」,「お」,「う」の文字の書かれたカードが少なくとも 1 枚は含まれるような選び方は全部で (ウ) 通りある.
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(4) 関数 y= (x- a)2 -4⁢( a-1) ( 0≦ x≦2 ) の最小値が 0 であるとき,定数 a の値は a= 1 または a= (エ) である.
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(5) 放物線 y= -x2 +5⁢x +18 と,関数 y= 2⁢ |x | のグラフで囲まれた部分の面積は (オ) である.
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【2】 次の にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい.
(1) 次の条件で定められる数列 {an } の一般項は an = (カ) である.
a1= 2 ,an +1= 2⁢an +1 (n =1, 2, 3, ⋯)
また,この数列 {an } の初項から第 n 項までの和は (キ) である.
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(2) 1 個のさいころを n 回続けた投げたとき, 1 の目が少なくとも 1 回は出る確率を pn とすると p n= (ク) である.また p n≧0.99 となるような最小の自然数 n は n= (ケ) である.
ただし, log10⁡ 2= 0.3010 ,log10 ⁡3 =0.4771 とする.
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(3) 半径 R の円に内接する四角形 ABCD において,
AB=3⁢ 2 ,BC=4 ,CD =2 ,∠ABC =45°
であるとする.このとき R= (コ) である.また,対角線 BD の長さは (サ) である.
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(4) ある整式 P⁡ (x) を (x+ 1)⁢( x+2) で割ると 3⁢ x-5 余り, (x-1 )⁢(x -3) で割ると 2⁢ x+3 余る.この整式 P⁡ (x) を x+ 1 で割った余りは (シ) である.また P⁡ (x) を (x +2)⁢ (x-3 ) で割った余りは (ス) である.
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(5) x ,y が 2 つの不等式
x2+ y2≦ 4, 2⁢y- x-2≧ 0
を同時に満たすとき, y-2⁢ x の最大値は (セ) であり,最小値は (ソ) である.
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【3】 次の にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい.
点 (-1 ,2) を通る傾き m の直線 l と,放物線 y= x2 で囲まれた部分の面積を S とする.ここで, m がすべての実数値をとって変化するときの S の最小値を求めてみよう.
直線 l の方程式を m を使って表すと y= (タ) である.また,直線 l と放物線 y= x2 の交点の x 座標を α , β とする(ただし α <β とする).このとき β -α を m を使って表すと β -α= (チ) である.これより, S を m を使って表すと S= (ツ) と表せる.
ここで「 0≦ a≦b ならば a 32 ≦b3 2 」であることに注意して, m がすべての実数値をとって変化するときの S の最小値を考えると, S は m= (テ) のとき最小値 (ト) をとることがわかる.
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【4】 1 辺の長さが 1 である正四面体 OABC の 4 辺 OA , AB ,BC , CO の中点をそれぞれ P , Q ,R , S とする.次の問いに答えなさい.
(1) OA→ =a→ , OB→ =b→ , OC→ =c→ とする.このとき PQ → ,PR → ,PS → を,それぞれ a → ,b → ,c → を用いて表しなさい.
(2) 4 点 P ,Q ,R ,S は同一平面上にあることを示しなさい.
(3) 四角形 PQRS は正方形であることを示しなさい.
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【5】 次の問いに答えなさい.
(1) 次の等式 Ⓐ を,数学的帰納法によって証明しなさい.
1+2+ 3+⋯ +n= 1 2⁢ n⁢ (n+1 )⋯ Ⓐ
(2) 連続した自然数の組 (500, 501,502, 503) は,そこに並んだすべての数の総和が 2006 になるものである.
500+501+ 502+503= 2006
このように 2 個以上の連続した自然数の組で,そこに並んだすべての数の総和が 2006 になるものをすべて求めなさい.
ただし,必要ならば,次のように素因数分解できることを利用してよい.
2006=2× 17×59