2006　慶応義塾大学　看護医療学部MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数を解答欄に記入しなさい．

(1)　関数$y=2\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{3}})+\sin \theta \text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$の最大値は$\boxed{\text{(ア)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数を解答欄に記入しなさい．

(2)　$x$の$3$次方程式$x^2(x-3)=a$がちょうど$2$個の異なる実数解をもつとき，定数$a$の値は$a=0$または$a=\boxed{\text{(イ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数を解答欄に記入しなさい．

(3)　「あ」，「い」，「う」，「え」，「お」，「か」，「き」，「く」，「け」，「こ」の文字の書かれた$10$枚のカードがある．この中から$4$枚のカードを選ぶ選び方のうち，「け」，「い」，「お」，「う」の文字の書かれたカードが少なくとも$1$枚は含まれるような選び方は全部で$\boxed{\text{(ウ)}}$通りある．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数を解答欄に記入しなさい．

(4)　関数$y={(x-a)}^2-4(a-1)\text{（}0\leqq x\leqq 2\text{）}$の最小値が$0$であるとき，定数$a$の値は$a=1$または$a=\boxed{\text{(エ)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数を解答欄に記入しなさい．

(5)　放物線$y=-x^2+5x+18$と，関数$y=2|x|$のグラフで囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{(オ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(1)　次の条件で定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\boxed{\text{(カ)}}$である．

$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}=2a_n+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　また，この数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和は$\boxed{\text{(キ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(2)　$1$個のさいころを$n$回続けた投げたとき，$1$の目が少なくとも$1$回は出る確率を$p_n$とすると$p_n=\boxed{\text{(ク)}}$である．また$p_n\geqq 0.99$となるような最小の自然数$n$は$n=\boxed{\text{(ケ)}}$である．

　ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(3)　半径$R$の円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，

$\mathrm{AB}=3\sqrt{2}\text{，}\mathrm{BC}=4\text{，}\mathrm{CD}=2\text{，}\angle \mathrm{ABC}=45°$

であるとする．このとき$R=\boxed{\text{(コ)}}$である．また，対角線$\mathrm{BD}$の長さは$\boxed{\text{(サ)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(4)　ある整式$P(x)$を$(x+1)(x+2)$で割ると$3x-5$余り，$(x-1)(x-3)$で割ると$2x+3$余る．この整式$P(x)$を$x+1$で割った余りは$\boxed{\text{(シ)}}$である．また$P(x)$を$(x+2)(x-3)$で割った余りは$\boxed{\text{(ス)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

(5)　 $x\text{，}y$が$2$つの不等式

$x^2+y^2\leqq 4\text{，}2y-x-2\geqq 0$

を同時に満たすとき，$y-2x$の最大値は$\boxed{\text{(セ)}}$であり，最小値は$\boxed{\text{(ソ)}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．

　点$(-1,2)$を通る傾き$m$の直線$l$と，放物線$y=x^2$で囲まれた部分の面積を$S$とする．ここで，$m$がすべての実数値をとって変化するときの$S$の最小値を求めてみよう．

　直線$l$の方程式を$m$を使って表すと$y=\boxed{\text{(タ)}}$である．また，直線$l$と放物線$y=x^2$の交点の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta$とする（ただし$\alpha <\beta$とする）．このとき$\beta -\alpha$を$m$を使って表すと$\beta -\alpha =\boxed{\text{(チ)}}$である．これより，$S$を$m$を使って表すと$S=\boxed{\text{(ツ)}}$と表せる．

　ここで「$0\leqq a\leqq b$ならば$a^{\frac{3}{2}}\leqq b^{\frac{3}{2}}$」であることに注意して，$m$がすべての実数値をとって変化するときの$S$の最小値を考えると，$S$は$m=\boxed{\text{(テ)}}$のとき最小値$\boxed{\text{(ト)}}$をとることがわかる．

【４】　$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$の$4$辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CO}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PR}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PS}}$を，それぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表しなさい．

(2)　$4$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$は同一平面上にあることを示しなさい．

(3)　四角形$\mathrm{PQRS}$は正方形であることを示しなさい．

【５】　次の問いに答えなさい．

(1)　次の等式$\text{Ⓐ}$を，数学的帰納法によって証明しなさい．

$1+2+3+\cdots +n={\displaystyle \frac{1}{2}}n(n+1)\cdots \text{Ⓐ}$

(2)　連続した自然数の組$(500,501,502,503)$は，そこに並んだすべての数の総和が$2006$になるものである．

$500+501+502+503=2006$

　このように$2$個以上の連続した自然数の組で，そこに並んだすべての数の総和が$2006$になるものをすべて求めなさい．

　ただし，必要ならば，次のように素因数分解できることを利用してよい．

$2006=2\times 17\times 59$