2006　慶応義塾大学　経済学部MathJax

$f(x)={\displaystyle {\int }_b^x}(9t^2-16t+a)dt$

によって定めます．方程式$f(x)=0$が$x=0$と$x=1$を解にもつならば，$a$の値は

$a=\boxed{\text{(1)}}$

となり，$b$の値は小さい方から順に

$b=\boxed{\text{(2)}}\text{または}\boxed{\text{(3)}}\text{または}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(4)}}}{\boxed{\text{(5)}}}}$

となります．このとき，方程式$f(x)=0$の$x=0\text{，}1$以外の解は

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(6)}}}{\boxed{\text{(7)}}}}$

となります．

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_k}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{k-1}}+(Y_k,1-Y_k)$

によって定めます．

(1)　${\mathrm{P}}_6\in \{(x,y)|x=y\}$となる確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(8)}}\boxed{\text{(9)}}}{\boxed{\text{(10)}}\boxed{\text{(11)}}}}$

となります．

(2)　$\{{\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_2,\cdots ,{\mathrm{P}}_6\}\subset \{(x,y)|x<y\}$となる確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(12)}}\boxed{\text{(13)}}}{\boxed{\text{(14)}}\boxed{\text{(15)}}}}$

となります．

(3)　集合$\{{\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_2,\cdots ,{\mathrm{P}}_6\}\cap \{(x,y)|x=y\}$が空集合にならない確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(16)}}\boxed{\text{(17)}}}{\boxed{\text{(18)}}\boxed{\text{(19)}}}}$

となります．

(4)　集合$\{{\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_2,\cdots ,{\mathrm{P}}_6\}\cap \{(x,y)|x=y\}$の要素の個数の期待値は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(20)}}\boxed{\text{(21)}}}{\boxed{\text{(22)}}\boxed{\text{(23)}}}}$

となります．

(1)　線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{L}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とします．直線$\mathrm{CL}$と直線$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{K}$とします．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OK}}$は

$\overrightarrow{\mathrm{OK}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(24)}}}{\boxed{\text{(25)}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(26)}}}{\boxed{\text{(27)}}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(28)}}}{\boxed{\text{(29)}}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

となります．

　次に，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=3\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=4\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OR}}=2\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たすようにとります．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の定める平面と直線$\mathrm{OK}$の交点を$\mathrm{S}$とします．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$は

$\overrightarrow{\mathrm{OS}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(30)}}\boxed{\text{(31)}}}{\boxed{\text{(32)}}\boxed{\text{(33)}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(34)}}\boxed{\text{(35)}}}{\boxed{\text{(36)}}\boxed{\text{(37)}}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(38)}}\boxed{\text{(39)}}}{\boxed{\text{(40)}}\boxed{\text{(41)}}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

となります．

(2)　線分$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$の長さをそれぞれ$1\text{，}2\text{，}3$とし，

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=2\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=2$

が成り立つとします．$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Z}$とします．このとき

$\overrightarrow{\mathrm{OZ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(42)}}}{\boxed{\text{(43)}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(44)}}}{\boxed{\text{(45)}}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

となります．さらに，点$\mathrm{X}$が直線$\mathrm{OC}$上を動き，点$\mathrm{Y}$が直線$\mathrm{AB}$上を動くとき，線分$\mathrm{XY}$の長さが最小になるのは

$\overrightarrow{\mathrm{XY}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(46)}}}{\boxed{\text{(47)}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(48)}}}{\boxed{\text{(49)}}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(50)}}}{\boxed{\text{(51)}}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

が成り立つときです．

$f(x,y)=a{x}^2+2(1-a)xy+4a{y}^2$

を考えます．

(1)　$y$を定数として，すべての実数$x$に対して定義された関数

$g(x)=a{x}^2+2(1-a)xy+4a{y}^2$

を考えます．$g(x)$の最小値が存在するための必要十分条件を求めてください．

(2)　座標平面上のすべての点$(x,y)$に対して，不等式

$f(x,y)\geqq 0$

が成立するための必要十分条件を求めてください．

(＊)${\log }_{6}x+{\log }_6(2^k+3^k-x)>k$

を考えます．

(1)　不等式(＊)を満たす実数$x$の範囲を定めてください．

(2)　不等式(＊)を満たす整数$x$の個数を$f(k)$とします．$f(k)$を求めてください．

(3)　すべての整数$k$に対して不等式$f(k)\leqq f(k+1)$が成立することを示してください．

　さらに，$f(k)=f(k+1)$を満たす整数$k$をすべて求めて下さい．

(4)　不等式$0<f(k+1)-f(k)<2^{k+3}$を満たす整数$k$をすべて求めてください．ただし，必要ならば${\log }_{2}3=1.58$として計算してください．

$f(x)={|x|}^3-6{|x|}^2+11|x|-6$

を考えます．

(1)　座標平面上に$y=f(x)$のグラフをかいてください．

(2)　$a$を実数とするとき，$y=f(x)$のグラフと$y=x^2+a$のグラフの共有点の個数を求めてください．