2006　慶応義塾大学　商学部MathJax

${\displaystyle (\frac{\boxed{\text{(1)}}}{3}{\cos }^3\theta -\frac{\boxed{\text{(2)}}}{3}\cos \theta ,-\frac{\boxed{\text{(3)}}}{3}{\sin }^3\theta +\frac{\boxed{\text{(4)}}}{3}\sin \theta )}$

である．この重心$\mathrm{G}$が直線$y=-\sqrt{3}x$上にあるのは，$\theta =\boxed{\text{(5)}\text{(6)}}°$または$\theta =\boxed{\text{(7)}\text{(8)}\text{(9)}}°$のときである．

$f(x)=a{\log }_{3}x\cdot {\log }_3{\displaystyle \frac{x}{27}}\cdot {\log }_{\frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{x^2}{729}}+2a+8b$

を考える．区間$\sqrt{3}\leqq x\leqq 81$において，$f(x)$は$x=\boxed{\text{(10)}\text{(11)}}$のとき最大値$\boxed{\text{(12)}}a+\boxed{\text{(13)}}b$をとり，$x=\boxed{\text{(14)}}$または$x=\boxed{\text{(15)}\text{(16)}}$のとき最小値$-\boxed{\text{(17)}}a+\boxed{\text{(18)}}b$をとる．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(19)}}}{\boxed{\text{(20)}}}{n}^3+\boxed{\text{(21)}}{n}^2+\frac{\boxed{\text{(22)}\text{(23)}}}{\boxed{\text{(24)}}}n}$

である．

　$b$と$c$を整数とし，$b$を$14$で割ったときの余りが$6$で，$c$を$14$で割ったときの余りが$1$であるとする．

(ⅰ)　$a$が整数（ただし$a\ne 0$）で，$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$が重解を持つとする．このとき，$a$を$14$で割ったときの余りは$\boxed{\text{(25)}}$または$\boxed{\text{(26)}}$である．

(ⅱ)　$2$次方程式$x^2-2bx+c=0$が整数解を持つとする．その解を$14$で割ったときの余りは$\boxed{\text{(27)}\text{(28)}}$である．

• ${\displaystyle \frac{d}{dx}}\{f(x)+g(x)\}=6x-38+{\displaystyle {\int }_0^{\alpha }}f(x)dx\text{，}$
• ${\displaystyle \frac{d}{dx}}\{f(x)g(x)\}=18x^2-58x+28+{\displaystyle {\int }_0^{\beta }}g(x)dx$

が成り立ち，さらに

$f(-1)=16\text{，}g(-1)=-9$

が成り立つとする．このとき

• $f(x)=\boxed{\text{(29)}}{x}^2-\boxed{\text{(30)}}x+\boxed{\text{(31)}}\text{，}$
• $g(x)=\boxed{\text{(32)}}x-\boxed{\text{(33)}}$

であり，

• $\alpha =\boxed{\text{(34)}}\text{，}$
• $\beta =-\boxed{\text{(35)}}\text{または}\beta =\boxed{\text{(36)}}$

である．

• ・　$1\leqq k\leqq N-1$とするとき，第$k$回戦では，箱の中から$1$つ玉を取り出し，それが白玉ならばその玉を箱に戻して，そのまま第$k+1$回戦に進む．取り出した玉が赤玉ならば，$r^k$円の賞金を受け取り，そこでゲームは終了となる．
• ・　第$N$回戦では，箱の中から$1$つ玉を取り出し，それが白玉ならば賞金は無しで，ゲームは終了となる．取り出した玉が赤玉ならば$r^N$円の賞金を受け取り，ゲームは終了となる．

　このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a=3\text{，}b=2$とする．$1\leqq k\leqq N-1$に対し，第$k$回戦でゲームが終了する確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(37)}}}{\boxed{\text{(38)}}}}\cdot {\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(39)}}}{\boxed{\text{(40)}}}}\right)}^{k-\boxed{\text{(41)}}}$

である．

(ⅱ)　$a=b=1\text{，}N=8$のとき，第$8$回戦でゲームが終了する確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(42)}}}{\boxed{\text{(43)}\text{(44)}\text{(45)}}}}$

である．

(ⅲ)　$a=b=1\text{，}N=3$のとき，獲得する賞金の期待値は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(46)}}}{\boxed{\text{(47)}}}{r}^3+\frac{\boxed{\text{(48)}}}{\boxed{\text{(49)}}}{r}^2+\frac{\boxed{\text{(50)}}}{\boxed{\text{(51)}}}r}$

円であり，この期待値が$1000$円以上となるのは，$r\geqq \boxed{\text{(52)}\text{(53)}}$のときである．

${\displaystyle \sum _{j=1}^n}j{a}_j=n{S}_n-{\displaystyle \sum _{j=1}^{n-1}}{S}_j\cdots$(＊)