2006　慶応義塾大学　総合政策学部MathJax

$x(t)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(4)}}\boxed{\text{(5)}}+\boxed{\text{(6)}}\boxed{\text{(7)}}t+\boxed{\text{(8)}}\boxed{\text{(9)}}{t}^2}{1+t^2}}\text{，}y(t)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(10)}}\boxed{\text{(11)}}+\boxed{\text{(12)}}\boxed{\text{(13)}}t-\boxed{\text{(14)}}\boxed{\text{(15)}}{t}^2}{1+t^2}}$

となる．実数$t$に円上の点$(x(t),y(t))$を対応させる．このとき,$t$がすべての実数を動いても，円上の点$(\boxed{\text{(16)}}\boxed{\text{(17)}},\boxed{\text{(18)}}\boxed{\text{(19)}})$には対応しない．

[選択肢]

• $\text{(01)}\mathrm{A}$
• $\text{(02)}\mathrm{B}$
• $\text{(03)}\mathrm{C}$
• $\text{(04)}\mathrm{D}$
• $\text{(05)}\mathrm{E}$
• $\text{(06)}\mathrm{F}$
• $\text{(07)}\mathrm{G}$
• $\text{(08)}\mathrm{H}$
• $\text{(09)}\mathrm{I}$
• $\text{(10)}\mathrm{J}$
• $\text{(11)}\mathrm{K}$
• $\text{(12)}\mathrm{L}$

(1)　$1^3+2^3+\cdots +n^3={(1+2+\cdots +n)}^2$がすべての自然数$n$に対して成り立つことを数学的帰納法で証明する．

　$n=1$のとき両辺とも$1$となり成り立つ．$n=k$のとき成り立つとする．

$\begin{array}{ll}{1}^3+2^3+\cdots +{(k+1)}^3& ={\displaystyle \frac{k^2{(\boxed{\text{(27)}}\boxed{\text{(28)}})}^2}{\boxed{\text{(29)}}\boxed{\text{(30)}}}}+{(\boxed{\text{(31)}}\boxed{\text{(32)}})}^3\\ & ={\displaystyle \frac{{(k+1)}^2{(\boxed{\text{(33)}}\boxed{\text{(34)}})}^2}{4}}\\ & ={(1+2+\cdots +(k+1))}^2\end{array}$

であるから，$n=k+1$のときも成り立つ．以上のことからすべての自然数$n$に対して成り立つことが分かった．

(2)　${a_1}^3+{a_2}^3+\cdots +{a_n}^3={(a_1+a_2+\cdots +a_n)}^2$がすべての自然数$n$に対して成り立つとき，すべての自然数$n$に対して$a_n=n$であることを証明する．ただし，すべての自然数$n$に対して$a_n>0$とする．

　$n=1$のとき，${a_1}^3={a_1}^2$より$a_1=1$である．

$\begin{array}{ll}{a_n}^3& ={\displaystyle \sum _{l=1}^n}{a_l}^3-{\displaystyle \sum _{l=1}^{\boxed{\text{(35)}}\boxed{\text{(36)}}}}\boxed{\text{(37)}}\boxed{\text{(38)}}={({\displaystyle \sum _{l=1}^n}{a}_l)}^2-{({\displaystyle \sum _{l=1}^{\boxed{\text{(35)}}\boxed{\text{(36)}}}}\boxed{\text{(39)}}\boxed{\text{(40)}})}^2\\ & =\boxed{\text{(41)}}\boxed{\text{(42)}}({\displaystyle \sum _{l=1}^n}{a}_l+{\displaystyle \sum _{l=1}^{\boxed{\text{(35)}}\boxed{\text{(36)}}}}\boxed{\text{(39)}}\boxed{\text{(40)}})\end{array}$

　よって

${a_n}^2=\boxed{\text{(43)}}\boxed{\text{(44)}}{\displaystyle \sum _{l=1}^n}{a}_l-a_n$

となり

• $({a_n}^2+a_n)-({a_{n-1}}^2+\boxed{\text{(45)}}\boxed{\text{(46)}})=2a_n$，
• ${a_n}^2-{a_{n-1}}^2=\boxed{\text{(47)}}\boxed{\text{(48)}}+a_{n-1}$，
• $a_n-a_{n-1}=1$

となる．$a_1=1$より，すべての自然数$n$に対して$a_n=n$となる．

[選択肢]

• $\text{(01)}1$
• $\text{(02)}2$
• $\text{(03)}3$
• $\text{(04)}4$
• $\text{(05)}5$
• $\text{(06)}k-2$
• $\text{(07)}k-1$
• $\text{(08)}k$
• $\text{(09)}k+1$
• $\text{(10)}k+2$
• $\text{(11)}n-2$
• $\text{(12)}n-1$
• $\text{(13)}n$
• $\text{(14)}n+1$
• $\text{(15)}n+2$
• $\text{(16)}{a}_{n-2}$
• $\text{(17)}{a}_{n-1}$
• $\text{(18)}{a}_n$
• $\text{(19)}{a}_{n+1}$
• $\text{(20)}{a}_{n+2}$
• $\text{(21)}{a}_{l-2}$
• $\text{(22)}{a}_{l-1}$
• $\text{(23)}{a}_l$
• $\text{(24)}{a}_{l+1}$
• $\text{(25)}{a}_{l+2}$
• $\text{(26)}2a_n$
• $\text{(27)}{a_n}^2$
• $\text{(28)}{a_n}^3$
• $\text{(29)}2a_l$
• $\text{(30)}{a_l}^2$
• $\text{(31)}{a_l}^3$
• $\text{(32)}{a_n}^{-1}$
• $\text{(33)}{a_n}^{-2}$
• $\text{(34)}{a_l}^{-1}$
• $\text{(35)}{a_l}^{-2}$

• 100 INPUT "A=" :A
• 110 INPUT "B=" ;B
• 120 INPUT "C=" ;C
• 130 INPUT "D=" ;D
• 140 LET E=A*D+B*C
• 150 LET F=B*D
• 160 LET X=E
• 170 LET Y=F
• 180 LET R=X-Y*INT(X/Y)
• 190 IF R=0 THEN GOTO 230
• 200 LET X=$\boxed{\text{(55)}}\boxed{\text{(56)}}$
• 210 LET Y=$\boxed{\text{(57)}}\boxed{\text{(58)}}$
• 220 GOTO 180
• 230 LET G=Y
• 240 PRINT E/G ; "/" ; F/G
• 250 END

[選択肢]

• (01)　A
• (02)　B
• (03)　C
• (04)　D
• (05)　E
• (06)　F
• (07)　G
• (08)　X
• (09)　Y
• (10)　R

$(1,2)\text{，}(1,4)\text{，}(1,6)\text{，}(2,3)\text{，}(2,5)\text{，}(3,4)\text{，}(3,6)\text{，}(4,5)\text{，}(5,6)$

の$9$通り，丁となる出方が

$(1,1)\text{，}(1,3)\text{，}(1,5)\text{，}(2,2)\text{，}(2,4)\text{，}(2,6)\text{，}(3,3)\text{，}(3,5)\text{，}(4,4)\text{，}(4,6)\text{，}(5,5)\text{，}(6,6)$

の$12$通りと数える数え方である．このとき丁に賭けるほうが有利とする考え方は間違えであり，丁となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(59)}}\boxed{\text{(60)}}}{\boxed{\text{(61)}}\boxed{\text{(62)}}}}$である．

(2)　$3$つのサイコロを同時に投げたとき，出た目の和が$9$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(63)}}\boxed{\text{(64)}}}{\boxed{\text{(65)}}\boxed{\text{(66)}}\boxed{\text{(67)}}}}\text{，}$出た目の和が$10$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(68)}}\boxed{\text{(69)}}}{\boxed{\text{(70)}}\boxed{\text{(71)}}}}$である．

　温度に対する人間の感覚を調べた．複数の人に対して，$10°C\text{，}20°C\text{，}30°C\text{，}40°C\text{，}50°C$を体験させ，その感覚を値で答えてもらった．各温度に対する値の平均値を感覚値とすると以下の表のようになった．

　この関係を調べるために温度および感覚値の常用対数を計算してみた．

　このことから温度の対数を$X\text{，}$感覚値の対数を$Y$としたとき，$X$と$Y$の関係を比例関係$Y=({\log }_{10}48)X$で近似することにした．したがって温度を$x\text{，}$感覚値を$y$としたとき

$y=\boxed{\text{(78)}\text{(79)}}{x}^{1.\boxed{\text{(80)}\text{(81)}}}$

と近似される．