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【3-1】 選択肢から最も適切なものを選びその番号を解答欄に記入しなさい.
自然数を含む命題がすべての自然数に対して成り立つことを証明するには,数学的帰納法の変形として,つぎのつを示せばよい.
この方法を用いて,つぎの命題がすべての自然数に対して成り立つことを証明する.
命題すべてのに対して
証明にが含まれるときは,右辺はとなるので命題は明らか.よって以下の議論ではすべてのはより大きいとする.
(A) のとき,両辺ともとなりは成り立つ.のときも
よりは成り立つ.
(B) のとき命題は成り立つとする.
となり,が成り立つことが分かる.ここで最後の式の変形ではを用いている.
(C) のとき命題は成り立つとする.とくに
とすれば,となる.両辺をで割れば
となる.よってが成り立つことが分かる.
以上の(A),(B),(C)により命題はすべての自然数に対して成り立つ.
[選択肢]
【3-2】 以下のプログラムは自然数N
を与えたとき,その約数を順次印刷するものである.選択肢から最も適切なものを選びその番号を解答欄に記入しなさい.
100 INPUT N
110 FOR
=
TO
120 B=
-A *
(
/
)
130 IF
= 0 THEN PRINT
140 NEXT A
150 END
[選択肢]
1
2
0
-1
A
B
C
N
R
K
FOR
INPUT
NEXT
PRINT
THEN
STEP
END
INT
SQR
LET
【4】 一直線上を正の方向に運動する物体の速度を観測し,下の表のような時刻における速度が得られた.以下の議論では観測値の測定誤差はないものとする.
時刻 | |||||||||||
速度 |
がの二次関数で表されるとすれば
である.物体の移動した道のりは速度の積分であり,この運動の場合,においてであるから,道のりはと軸で囲まれる部分の面積となる.
君は二次関数の積分ができたので,道のりをと求めることができた.
君は二次関数の積分公式を知らなかった.そこで上述の面積の計算を,二次関数を折れ線で近似して計算することにした.すなわちとしたとき,各に対して,軸で囲まれる部分の面積を,点を順に線分で結んで得られる台形(のときは三角形)の面積で近似することにした.このようにすると道のりの近似値として(小数表示)が得られた.
君は君の計算を見ていて次のような方法を思いついた.右の図のように点をにとる.各に対して,点を結ぶ線分の中点をとする.ここでとをつなぎ,その線分をとする.を軸に沿って平行移動し,区間の中にいれる.次に軸に沿って平行移動し,図のようにその左端とを平行移動したものの右端とをつなぐ.ただし,を移動したものの左端は原点とする.
と順次この操作を行ってできた折れ線の右端の座標は(小数表示)であり,これに(小数表示)を掛ければ君の求めた値となる.
【5】 関数が与えられたとき,関数に対応する縞模様をスクリーンに投影する.下記の図Aはに対応する縞模様であり,投影の仕方は以下の通りである.
実際,はで最大値をとり,で最小値をとるので,縞模様はのところが白となり,のところが黒となる.
図Bのような白の帯が本見える縞模様を
に対応させてスクリーンに投影させたい.ただし,のところの値は図A,Bとも同じであるが,図Bの最も濃いところのの値は,図Aの最も濃いところのの値の倍である.このとき
である.
図A | 図B |