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【2】 以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい.
三角形のつの頂点のうちつの頂点上には白球を個ずつ置き,他のつの頂点上には黒球を個置く.いま次の操作Tを何回か繰り返し行う.
操作T
(T1) 次の(a)または(b)の規則に従って三角形の頂点上にあるすべての球を同時に回だけ動かす.
(a) 球が個だけ置かれている頂点上にある球については,その球を他の球の動かし方とは独立に確率ずつで他のつの頂点のうちのどちらかの上に移す.
(b) 白球が個置かれている頂点上にある球については,その個の白球を他のつの頂点おのおのの上に個ずつ移す.このとき個の白球のうちのどちらの白球を他のどちらの頂点上に移すかについては区別しないものとする.
(T2) 上の(T1)の処理を行った結果白球個と黒球個が同一の頂点上に置かれた場合は,その白球個を三角形の頂点上から取り除き黒球個だけをその頂点上に残す.
以下,を自然数とする.操作Tを回繰り返し行った結果,球が個だけ置かれている頂点がつある確率を白球が個置かれている頂点と黒球が個だけ置かれている頂点とがつずつある確率を白球が個だけ置かれている頂点と黒球が個だけ置かれている頂点とがつずつある確率をとする.
(1) であり,である.
(2) をの式で表すととなる.
(3) をの式で表すととなる.さらに,をの式で表すととなる.
【4】 設問(1),(2-1)では,文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい.また,設問(2-2)に答えなさい.
(1) 行列(ただしは実数)が適当な行列とその逆行列に対して
(#)
(ただしは整数)
を満たしているとする.(#)を満たす実数と対応する行列を動かすとき絶対値のとりうる最大値はである.従って(#)が成りたつとき,のとりうる値をの条件の下ですべて求めるととなる.そしてこれらに対応するの値はとなる.ただしとする.
(2) とする.整数を成分としとは異なるような行列がかつを満たしているとする.
(2-1) をとを用いて表すと
である.
(2-2) どんな行列をとっても
でない実数)
とはならないことを示しなさい.