2006 慶応義塾大学 医学部MathJax

Mathematics

Examination

Test

Archives

2006 慶応義塾大学 医学部

2月21日実施

易□ 並□ 難□

【1】 以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい.

(1)  p q を実数とし, xy 平面上の

(x- p)2 +4 (y-q )2= 4

を考える.楕円 の焦点は ( (あ) , (い) ) ( (う) , (え) ) である.楕円 が直線 y= x y= -x のどちらにも接するような p q のうち p> 0 となるのは p= (お) q= (か) のときである.

2006 慶応義塾大学 医学部

2月21日実施

易□ 並□ 難□

【1】 以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい.

(2)  c を実数とし, 3 次方程式

x3- 3c x+1= 0

を考える.

(2-1) 方程式 x2 + 1x= 3c と表されることに注意すると, が唯一つの実数解 a をもつための c に関する必要十分条件は正の実数 c 0= (き) を用いて c< c0 と書かれる.また c< c0 のとき実数解 a の値のとりうる範囲は (く) < a< (け) となる.

(2-2)  c<c 0 のとき の虚数解を α+ βi α -βi i 虚数単位, α β は実数, β 0 )とする.これらの虚数解の絶対値 α 2+β 2 を実数解 a を用いて表すと α2+ β2 = (こ) となる.特に 0< c<c0 のとき α 2+β 2 の値のとりうる範囲は (さ) < α2+ β2 < (し) となる.

2006 慶応義塾大学 医学部

2月21日実施

易□ 並□ 難□

【2】 以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい.

 三角形の 3 つの頂点のうち 2 つの頂点上には白球を 1 個ずつ置き,他の 1 つの頂点上には黒球を 1 個置く.いま次の操作Tを何回か繰り返し行う.

操作T

(T1) 次の(a)または(b)の規則に従って三角形の頂点上にあるすべての球を同時に 1 回だけ動かす.

(a) 球が 1 個だけ置かれている頂点上にある球については,その球を他の球の動かし方とは独立に確率 12 ずつで他の 2 つの頂点のうちのどちらかの上に移す.

(b) 白球が 2 個置かれている頂点上にある球については,その 2 個の白球を他の 2 つの頂点おのおのの上に 1 個ずつ移す.このとき 2 個の白球のうちのどちらの白球を他のどちらの頂点上に移すかについては区別しないものとする.

(T2) 上の(T1)の処理を行った結果白球 1 個と黒球 1 個が同一の頂点上に置かれた場合は,その白球 1 個を三角形の頂点上から取り除き黒球 1 個だけをその頂点上に残す.

 以下, n m を自然数とする.操作Tを n 回繰り返し行った結果,球が 1 個だけ置かれている頂点が 3 つある確率を p n 白球が 2 個置かれている頂点と黒球が 1 個だけ置かれている頂点とが 1 つずつある確率を q n 白球が 1 個だけ置かれている頂点と黒球が 1 個だけ置かれている頂点とが 1 つずつある確率を rn とする.

(1)  p1= (あ) q1= (い) であり, r1 = (う) である.

(2)  pn+ qn n の式で表すと pn +qn = (え) となる.

(3)  p2 m-1 p2 m m の式で表すと p 2m -1= (お) p2 m= (か) となる.さらに, rn n の式で表すと r n= (き) となる.

2006 慶応義塾大学 医学部

2月21日実施

易□ 並□ 難□

【3】 設問(1)では,文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい.また,設問(2)に答えなさい.

(1) 各自然数 n に対し区間 [0, ) で連続な関数

fn= { an x+bn 0x< 1 n のとき) 0 x 1n のとき)

an bn は実数の定数)を考える. 01 f n( x)d x=1 が成立するならば a n= (あ) b n= (い) である.このとき

01 fn (x )cos xdx = (う)

となる.また

limn 01 fn (x )cos xdx= (え)

となる.

(2)  limn 1 n2 π xcos (n x)dx =0 を示しなさい.

2006 慶応義塾大学 医学部

2月21日実施

易□ 並□ 難□

【4】 設問(1),(2-1)では,文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい.また,設問(2-2)に答えなさい.

(1) 行列 ( cosθ -sin θsin θcos θ ) (ただし θ は実数)が適当な行列 P とその逆行列 P -1 に対して

(#)  P-1 ( cos θ- sinθ sin θcos θ ) P=( k lm n )

     (ただし k l m n は整数)

を満たしているとする.(#)を満たす実数 θ と対応する行列 P を動かすとき絶対値 | k+n | のとりうる最大値は (あ) である.従って(#)が成りたつとき, cosθ のとりうる値を 0< θ<π の条件の下ですべて求めると cos θ= (い) となる.そしてこれらに対応する θ 0< θ<π の値は θ = (う) となる.ただし π (ラジアン)=180 ° とする.

(2)  E=( 1 0 01 ) とする.整数 a b c d を成分とし ±E とは異なるような行列 A= (a b cd ) a d-b c=1 かつ | a+d| < (あ) を満たしているとする.

(2-1)  A2 A E を用いて表すと

A2= (え) ,または (お) ,または (か)

である.

(2-2) どんな行列 P をとっても

P-1 A P=( α 0 0 1α ) または± ( 1α 01 )

(ただし α 0 でない実数)

とはならないことを示しなさい.

inserted by FC2 system