2006　上智大学　文，総合人間，外国語学部2月6日実施MathJax

【１】

(1)　$a\text{，}b$を定数とする．整式$P(x)$を$x^2+x+a$で割ったときの余りが$3x+2\text{，}$整式$(x+b)P(x)$を$x^2+x+a$で割ったときの余りが$2x+8$であるならば，$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】

(2)　$\sin \theta ={\displaystyle \frac{20}{101}}$のとき，$\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2}}=\boxed{\text{ウ}}$または${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．ただし$\boxed{\text{ウ}}>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$とする．

【１】

(3)　正の実数$x$の整数部分を$\left[x\right]$と書く．例えば，$\left[5\right]=5\text{，}\left[2.9\right]=2\text{，}\left[{\displaystyle \frac{7}{11}}\right]=0$である．自然数$n$に対して$f(n)={\displaystyle \frac{5n}{8}}-\left[{\displaystyle \frac{5n}{8}}\right]$とおく．このとき，$f(1)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\text{，}f(4)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．自然数$n$が$1$から$100$まで動くとき，$f(n)$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{シ}}$である．

【２】　座標平面上で放物線$C:y=x(2-x)$およびその上の点$\mathrm{P}(t,t(2-t))$（ただし$1\leqq t\leqq 2$）を考える．原点を$\mathrm{O}$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$における$C$の接線$l$の方程式は

$y=(\boxed{\text{ス}}t+\boxed{\text{セ}})x+\boxed{\text{ソ}}{t}^2$

である．

(2)　直線$\mathrm{OP}$に平行な$C$の接線$m$の方程式は

$y=(\boxed{\text{タ}}t+\boxed{\text{チ}})x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}{t}^2$

である．

(3)　$2$直線$l\text{，}m$の交点$\mathrm{Q}$の座標は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}t,{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}{t}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}t)$であり，点$\mathrm{Q}$は放物線

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}{x}^2+\boxed{\text{フ}}x+\boxed{\text{ヘ}}$

上にある．

(4)　$t$が$1$から$2$まで動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の通る部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}$である．

【３】　赤玉$2$個，青玉$2$個，白玉$3$個の合わせて$7$個の玉を横一列に並べる．ただし，同じ色の玉は区別しないものとする．

(1)　赤玉同士が隣り合う並べ方は全部で$\boxed{\text{ミ}}$通りある．

(2)　赤玉同士が隣り合い，青玉同士も隣り合う並べ方は全部で$\boxed{\text{ム}}$通りある．

(3)　赤玉同士が隣り合い，青玉同士が隣り合い，さらに$2$個以上の白玉同士も隣り合う並べ方は全部で$\boxed{\text{メ}}$通りある．

(4)　白玉同士が隣り合わない並べ方は全部で$\boxed{\text{モ}}$通りある．

(5)　赤玉同士が隣り合い，白玉同士が隣り合わない並べ方は全部で$\boxed{\text{ヤ}}$通りある．

(6)　同じ色の玉が隣り合わない並べ方は全部で$\boxed{\text{ユ}}$通りある．