2006　上智大学　総合人間，法学部2月7日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{\text{あ}}\text{，}\boxed{\text{い}}$および$\boxed{\text{う}}$には下の選択肢の中から正しいものを選べ．

　放物線

$C:y=x^2-{\displaystyle \frac{1}{\cos \theta \sin \theta }}x+1$

を考える．ただし$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(1)　$C$の頂点の座標は$({\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{あ}}}},{\displaystyle \frac{-1}{\boxed{\text{い}}}})$であり，$\theta$の値によらず，放物線$y=\boxed{\text{ア}}{x}^2+\boxed{\text{イ}}x+\boxed{\text{ウ}}$上にある．

(2)　$C$が$x$軸と交わる点の$x$座標は$\boxed{\text{う}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{う}}}}$である．

　ここで

$I={\displaystyle {\int }_0^{\tan \theta }}(x^2-{\displaystyle \frac{1}{\cos \theta \sin \theta }}x+1)dx$

とおく．

(3)　$I={\displaystyle \frac{1}{6}}(\boxed{\text{エ}}{\tan }^3\theta +\boxed{\text{オ}}\tan \theta )$である．

(4)　$I=0$となるのは$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}\pi$のときである．

(5)　$I$は$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\pi$のとき最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$をとる．

選択肢：

• $\text{ⓐ}$　$\sin \theta$
• $\text{ⓑ}$　$\cos \theta$
• $\text{ⓒ}$　$\tan \theta$
• $\text{ⓓ}$　$\sin 2\theta$
• $\text{ⓔ}$　$\mathrm{ccos}2\theta$
• $\text{ⓕ}$　$\tan 2\theta$
• $\text{ⓖ}$　${\sin }^2\theta$
• $\text{ⓗ}$　${\cos }^2\theta$
• $\text{ⓘ}$　${\tan }^2\theta$
• $\text{ⓙ}$　${\sin }^{2}2\theta$
• $\text{ⓚ}$　${\cos }^{2}2\theta$
• $\text{ⓛ}$　${\tan }^{2}2\theta$

【２】　次の$\boxed{\text{え}}$から$\boxed{\text{そ}}$には$A\text{，}B\text{，}C\text{，}D$の中から正しいものを選べ．

(1)　実数$\alpha \text{，}\beta$が$0<3\beta <\alpha \text{，}\alpha +\beta =1$をみたしているとする．

$A=\sqrt{\alpha \beta }\text{，}B=2\alpha \beta \text{，}C={\alpha }^2+{\beta }^2\text{，}D={\displaystyle \frac{3}{5}}$

は

$\boxed{\text{え}}<\boxed{\text{お}}<\sqrt[3]{\alpha \beta }<\boxed{\text{か}}<\boxed{\text{き}}$

をみたす．

(2)　

$A={\displaystyle \frac{2}{3}}{\log }_{10}3\text{，}B={\displaystyle \frac{3}{7}}{\log }_{10}5\text{，}C={\displaystyle \frac{3}{10}}\text{，}D={\displaystyle \frac{1}{3}}$

は

$\boxed{\text{く}}<\boxed{\text{け}}<{\log }_{10}2<\boxed{\text{こ}}<\boxed{\text{さ}}$

をみたす．

(3)　$\theta ={\displaystyle \frac{1}{9}}\pi$とおく．

$A=\tan \theta \text{，}B={\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta \text{，}C={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}D=\theta$

は

$\boxed{\text{し}}<\boxed{\text{す}}<\sin \theta <\boxed{\text{せ}}<\boxed{\text{そ}}$

をみたす．

【３】(1)　右の$\mathrm{A}$図で$2$つの円$\mathrm{O}\text{，}{\mathrm{O}}^{\prime }$は互いに接しており，それぞれは直線$l$と接点$\mathrm{H}\text{，}{\mathrm{H}}^{\prime }$で接しているとする．このとき$\boxed{\text{シ}}\mathrm{OH}\cdot {\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{H}}^{\prime }={(\mathrm{H}{\mathrm{H}}^{\prime })}^2$である．

　次に，右の$\mathrm{B}$図で$3$つの円$O\text{，}{O}_1\text{，}{O}_2$は互いに接している．$m$は$3$つの円の共通の接線であって$\mathrm{H}\text{，}{\mathrm{H}}_1\text{，}{\mathrm{H}}_2$はそれぞれの接点である．円$O\text{，}{O}_1\text{，}{O}_2$の半径をそれぞれ$1\text{，}{r}_1\text{，}{r}_2$とし$u={\mathrm{H}}_1{\mathrm{H}}_2\text{，}{u}_1=\mathrm{H}{\mathrm{H}}_1\text{，}{u}_2=\mathrm{H}{\mathrm{H}}_2$とすれば，(1)によって$\boxed{\text{シ}}{r}_1={u_1}^2\text{，}\boxed{\text{シ}}{r}_2={u_2}^2\text{，}\boxed{\text{シ}}{r}_1{r}_2=u^2$である．

(2)　$u_1\text{，}{u}_2$は$u_1{u}_2+\boxed{\text{ス}}{u}_1+\boxed{\text{セ}}{u}_2=0$をみたす．

(3)　$u$の最小値は$\boxed{\text{ソ}}$である．

(4)　$\alpha =\angle {\mathrm{O}}_1\mathrm{O}{\mathrm{O}}_2$とおくと

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}(u+\boxed{\text{チ}})}{{(u+\boxed{\text{チ}})}^2+\boxed{\text{ツ}}}}$

である．

(5)　$\tan \theta =u+\boxed{\text{チ}}$とおくと，$\cos \alpha =\boxed{\text{テ}}\sin 2\theta$である．

(6)　$\alpha$が最大になるのは$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$のときである．