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2006-13363-0701
2006 上智大学 理工学部
機械工学科・化学科
2月10日実施
易□ 並□ 難□
【1】
(1) xy 平面内の 3 つの集合
A={( x,y) | x2+ y2- 2⁢y- 1<0}
B={( x,y) |y +x2 -1≦ 0}
C={( x,y) |y -a⁢x -a=0 }
を考える. A∩B∩ C≠φ であるのは,実数 a が
ア <a< イ
を満たすときである.
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(2) 方程式
x+1 -x- k=0
を満たす解の個数が最も多いのは,実数 k が
ウ≦k< エ オ
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(3) -1≦x ≦1 で定義された連続関数 f⁡ (x) に対して定積分
∫ -11 ⁡ {f⁡( x)-( p⁢x+ q)} 2⁢d x
は, p= カ キ ⁢ ∫- 11 ⁡x⁢ f⁡(x )⁢dx , q= ク ケ ⁢ ∫- 11 ⁡f⁡ (x)⁢ dx のとき最小値をとる.
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【2】 外から空気を入れて,球の形をした風船を膨らます装置がある.それを観測して,その風船の半径が r のとき,表面積が単位時間あたり 64⁢ π⁢r⁢ e-r の割合で増加していることをつきとめた.ただし,時刻 t= 0 のとき r= 0 と仮定する.また対数は自然対数とし, e は自然対数の底とする.
(1) d rdt を r の式で表すと,
d rdt = コ サ ⁢ あ
である.時刻 t を風船の半径 r の関数と思えば
d tdr = シ ス ⁢ い
である.
あ , い の選択肢:
(2) 時刻 t における風船の体積を V⁡ (t) とすると
d V⁡(t )dt = セ⁢ π⁢ ( log⁡( ソ ⁢t + タ ) )2 ソ ⁢t + タ
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【3】 a≧0 とし,
f⁡(x )={1 +(a +x) 2}⁢ {1+ (a- x)2 }
とおく. x が -a≦ x≦a の範囲を動くときの f⁡ (x) の最小値を m⁡ (a) とおく.
(1) 0≦a≦ チ のときは m⁡ (a)= ツ⁢ a4 + テ⁢ a2 + ト であり, a≧ チ のときは m⁡ (a)= ナ⁢ a2 + ニ である.
(2) {(x, y)| 0≦x≦ 2,0 ≦y≦m ⁡(x) } で表される xy 平面の図形を y 軸の周りに 1 回転してできる回転体の体積は ヌ ネ ⁢π である.
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【4】 xyz 空間の原点に駒がある. x または y または z が大きくなる方向に 1 ずつ駒を進める.
(1) 原点から (2, 2,2) まで進む方法は ノ 通りである.
(2) 原点から (1, 1,0) を通り (2, 2,2 ) まで進む方法は ハ 通りである.
(3) 原点から (1, 1,1 ) を通らないで (2, 2,2 ) まで進む方法は ヒ 通りである.
(3) サイコロを投げ, 1 ,2 ,3 が出たら x 方向, 4 ,5 が出たら y 方向, 6 が出たら z 方向に 1 ずつ進むとき, 6 回投げたとき (2 ,2,2 ) に進む確率は フ ヘ である.