2006　上智大学　理工(数・物・電)学部2月12日実施MathJax

【１】　$2$曲線$y=a{x}^2\text{，}y=\log x$が互いに接する．すなわち，共有点をもち，その共有点で共通の接線をもつものとする．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$a$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\boxed{\text{あ}}$である．

(2)　接点の座標は$(\boxed{\text{い}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}})$である．

(3)　$2$曲線と$y$軸および直線$y=-1$とによって囲まれた部分を$y$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積は$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\boxed{\text{う}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\boxed{\text{え}})\pi$である．ただし，$\boxed{\text{オ}}\text{，}\boxed{\text{キ}}$は正とする．

$\boxed{\text{あ}}$から$\boxed{\text{え}}$の選択肢：

【２】　$f(x)=x^3-9x^2+15x+12$とし，集合$\mathrm{A}$を

$\mathrm{A}=\{x|f(x)>0\}$

で定める．

(1)　関数$f(x)$は$x=\boxed{\text{ケ}}$で極大値$\boxed{\text{コ}}$をとり，$x=\boxed{\text{サ}}$で極小値$\boxed{\text{シ}}$をとる．

(2) 　曲線$y=f(x)$の変曲点は$(\boxed{\text{ス}},\boxed{\text{セ}})$である．

(3)　$0\boxed{\text{お}}\mathrm{A}$である．

　以下，正の実数$a$に対し，閉区間$\mathrm{B}=[0,a]=\{x|0\leqq x\leqq a\}$を考える．

(4)　$\mathrm{A}\supset \mathrm{B}$となる正の実数$a$は$\boxed{\text{か}}$．

(5)　$\mathrm{A}\supset \mathrm{B}$となる正の整数$a$は$\boxed{\text{き}}$．

$\boxed{\text{お}}$の選択肢：

$\boxed{\text{か}}$の選択肢：

$\boxed{\text{き}}$の選択肢：

【３】　立方体の各面を白，黒の$2$色のいずれかに塗って，立方体を塗り分ける．このとき，各頂点に集まる$3$つの面が全ては同じ色にならないようにする．

(1)　立方体を回転させて同じになる塗り方を区別しないとき，塗り分け方は$\boxed{\text{ソ}}$通りである．

(2)　立方体を固定して考え，回転して同じになる塗り方を全て区別して考えるとき，

(a)　白が$2$面に塗られる塗り分け方は$\boxed{\text{タ}}$通るである．

(b)　白が$3$面に塗られる塗り分け方は$\boxed{\text{チ}}$通りである．

(c)　塗り分け方は全部で$\boxed{\text{ツ}}$通りである．

【４】　$\theta$についての恒等式

$\cos \theta +\cos (\theta +{\phi }_1)+\cos (\theta +{\phi }_2)=0$

がある．${\phi }_1\text{，}{\phi }_2$は定数で，$0\leqq {\phi }_1\leqq {\phi }_2<2\pi$を満たす．

(1)　${\phi }_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\pi \text{，}{\phi }_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\pi$である．

(2)　${\cos }^2\theta +{\cos }^2(\theta +{\phi }_1)+{\cos }^2(\theta +{\phi }_2)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である．

(3)　$\overrightarrow{a}=(1,0)\text{，}\overrightarrow{b}=(\cos {\phi }_1,\sin {\phi }_1)\text{，}\overrightarrow{c}=(\cos {\phi }_2,\sin {\phi }_2)$とするとき，次の位置ベクトル

$\cos \theta \overrightarrow{a}+\cos (\theta +{\phi }_1)\overrightarrow{b}+\cos (\theta +{\phi }_2)\overrightarrow{c}$

で表される点$\mathrm{P}$は半径${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$の円周上に存在し，$\theta$が増加する場合，点$\mathrm{P}$は$\boxed{\text{く}}$．

$\boxed{\text{く}}$の選択肢：

【１】　$x$は$t$の関数で，$t=0$のとき，$x=0$であり，次の式を満たすとする．

${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=1-{\displaystyle \frac{4}{1+e^{-x}}}$

　このとき$y=e^x$とおく．

(1)　${\displaystyle \frac{dy}{dt}}$を$y$で表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{dt}{dy}}$を部分分数に分解し，$t$を$y$で表せ．

(3)　$t$を$y$で表したときのグラフの概形を描き，$\underset{t\to \infty }{\lim }y$を求めよ．

(4)　$\underset{t\to \infty }{\lim }x$を求めよ．