2006　上智大学　理工(数)学部2月12日実施MathJax

【１】

$f_1(x)=1\text{，}$

$f_n(x)=1+{\displaystyle {\int }_0^x}{f_{n-1}(t)}^{2}dt\text{，}n=2\text{，}3\text{，}\cdots$

によって，関数列$f_1(x)\text{，}{f}_2(x)\text{，}{f}_3(x)\text{，}\cdots$を定義する．

(1)　$f_2(x)\text{，}{f}_3(x)$を求めよ．

(2)　$f_n(x)$を$x^n$で割ったときの余りを$P_n(x)$とおく．$P_1(x)\text{，}{P}_2(x)\text{，}{P}_3(x)$を求めよ．

(3)　$P_n(x)$の一般形を予想し，それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ．

(4)　$|x|<1$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n(x)$を求めよ．

【２】

$f(x)=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}x{e}^{1-\frac{x}{2}}$

とする．

(1)　増減・凹凸を明らかにして，曲線$y=f(x)$の概形を描け．

　実数$a$に対し，$a$を超えない最大の整数を$a$の整数部分といい，$[a]$で表す．以下では，$e$の値について$[e]=2$であることは用いてよいが，それより詳しいことを用いる場合にはその証明も記すこと．

(2)　実数${\displaystyle {\int }_0^2}f(x)dx$の整数部分$[{\displaystyle {\int }_0^2}f(x)dx]$を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^a}f(x)dx=6$となる正の実数$a$の整数部分$[a]$を求めよ．

【３】　$a$を定数とする．$3$次方程式$2x^3-6x+a=0$が異なる$3$つの実数解$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$（ただし，$\alpha <\beta <\gamma$）をもつとする．

(1)　定数$a$の範囲を求めよ．

　以下では定数$a$の値が(1)で求めた範囲にあり，さらに$a>0$であるとして答えよ．

(2)　$|\alpha |\text{，}|\beta |\text{，}|\gamma |$の大小を比較せよ．

(3)　$b=2a$とおく．$b\text{，}|\alpha |\text{，}|\beta |\text{，}|\gamma |$の大小を比較せよ．