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2006-13363-1101
2006 上智大学 理工学部
物理学科
推薦入試
易□ 並□ 難□
【1】 図のように, xy 平面上に原点 O を中心とする半径が 1 の円弧がある. x=t ( 0≦ t≦1 ),x 軸, y 軸および円弧で囲まれた部分(灰色の部分)の面積を S⁡ (t) とする.
1. S⁡(t ) を積分を使って書け.
2. d S⁡(t )dt を求めよ.
3. 円弧と x= t との交点 P と原点 O を結んだ直線と, y 軸との間の角度を θ とすると,面積 S は以下のようになることを示せ.
S⁡(θ )= θ2 + sin⁡2⁢ θ4
4. d S⁡(θ )dθ を求めよ.
5. d S(θ) dθ を, t=sin⁡ θ と書き,合成関数の微分および2.の結果を使って求め,4.の結果と一致していることを確かめよ.
2006-13363-1102
【2】
1.
(1) 平面ベクトル, a→ =(2, 1), b→ =(1, -2) ,c→ =(1 ,1) を考える. a→ +t⁢ b→ が c → と平行になる t の値を求めよ.また, a→ +t⁢ b→ が c → と垂直になる t の値を求めよ.
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(2) 空間ベクトル, a→ =(1, -2, 1) ,b→ =(- 1,1, 1) を考える. |a →+ t⁢b → | を最小にする t の値を求めよ.
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2. 図のような三角形 ABC を考える. ∠A の 2 等分線と辺 BC の交わる点を D , 線分 AD と ∠B の 2 等分線が交わる点を I とする.辺 AB の長さを c , 辺 BC の長さを a , 辺 CA の長さを b とおく.
(1) D は辺 BC を c: b に内分することを示せ.
(2) AD→ = b⁢AB →+c ⁢AC→ b+c を示せ.
(3) AI→ = b⁢AB →+c ⁢AC→ a+ b+c を示せ.
(4) 任意の点 O に対して, OI→ = a⁢OA →+b ⁢OB→ +c⁢ OC→ a+b +c を示せ.