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2006-13442-0201
2006 東京理科大学 理工学部B方式
情報科,工業化,機械工,土木工学科
2月4日実施
(1)〜(3)合わせて配点40点
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章の ア から ヘ までに当てはまる 0 から 9 までの数を求めて,解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい.
(1)
(a) 不等式
log2⁡ (x- 3)+ log2⁡ (x- 5)< 3
の解は,
ア <x< イ
である.
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(b) -π≦θ <π の範囲で不等式
cos⁡θ +sin⁡ (θ+ π 6 )>0
- ウ エ ⁢ π< θ< オ カ ⁢ π
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(2) 定積分
I= ∫01 ⁡ 3 ⁢x4 +8⁢x 3x 2+1 ⁢ dx
の値を計算する.
整式 3⁢ x4+ 8⁢x3 を整式 x 2+1 で割ることにより,
3⁢x4 +8⁢ x3= ( キ⁢ x 2+ ク⁢ x- ケ ) ⁢(x 2+1) -コ ⁢ x+サ
が得られる.さらに,
∫ 01⁡ ( キ⁢ x2 + ク⁢ x- ケ )⁢ dx= シ
∫ 01⁡ xx2 +1 ⁢d x= πス
であり,また, x=tan⁡ θ とおいて置換積分をすることにより,
∫ 01⁡ 1x2 +1 ⁢ dx= πセ
が得られる.よって,
I= ソ- タ ⁢ log⁡ チ + ツ テ ⁢ π
となる.
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(3)
(a) 2 つのさいころを投げるとき,目の和が 6 以下となる確率は ト ナ ニ である.
(b) A 君はさいころを 2 つ投げ, B 君はさいころを 1 つ投げる. A 君の投げたさいころの目の和が B 君の投げたさいころの目となる確率は, ヌ ネ ノ である.
(c) さいころを 3 つ投げるとき,どのさいころの目も残りの 2 個のさいころの目の和とならない確率は, ハ ヒ フ ヘ である.
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30点
【2】 定数 a , b に対して,関数 f⁡ (x) ,g⁡( x) を
f⁡( x)= a⁢log⁡ x+b ( x>0 ),g⁡ (x) = x2a +x
により定義する.ただし, a>0 とする.
(1) h⁡( x)=f⁡ (x) -g⁡( x) (x >0 ) とおく. h′ ⁡(x )=0 となる x を, a を用いて表せ.ここで, h′ ⁡(x ) は h ⁡(x ) の導関数である.
(2) 2 つの曲線 y= f⁡( x) と y =g⁡ (x ) が共有点をもつ b の範囲を, a を用いて表せ.
(3) 次の条件を満たす b を考える.
条件: a がどのような正の定数であっても, 2 つの曲線 y= f⁡( x) と g⁡ (x ) は共有点をもつ.
このような b のうち,最小のものを求めよ.
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【3】 関数 f⁡ (x) を
f⁡( x)= 1 5⁢x +1 ( x> 0)
と定める.数列 a 1 ,a2 , a3 ,⋯ を,
a1= 1, a1< a2< a3< ⋯
∫ aja j+1 ⁡f ⁡(x )⁢d x= log⁡6 5 ,j=1 ,2 , 3 ,⋯
を満たすようにとり,
bj= f⁡( aj ), j=1 ,2 ,3 ,⋯
とおく.また,各 j= 1, 2, 3, ⋯ に対して,点 ( aj+1 ,0 ) から曲線 y= f⁡( x) へひいた接線の接点を Pj ( xj, yj) で表し, 3 点 ( an+ 1,0 ), ( xj,0 ), Pj を頂点とする三角形を x 軸のまわりに 1 回転してできる円錐の体積を V j とおく.
(1) b jbj +1 の値を求めよ.
(2) y jbj +1 の値を求めよ.
(3) Vj の値を求めよ.
(4) 無限級数
V1+ V2+ V3+ ⋯
の和を求めよ.