2006　東京理科大学　理工学部B方式2月6日実施MathJax

$a_1=1\text{，}{b}_1=2\text{，}\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=a_n-4b_n\\ b_{n+1}=2a_n+7b_n\end{array}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．定数$p\text{，}q$は，すべての自然数$n$に対して

$a_{n+1}+p{b}_{n+1}=q(a_n+p{b}_n)$

を満たすとする．このとき，

$q=2p+\boxed{\text{ア}}\text{，}pq=\boxed{\text{イ}}p-4$

となり，これから$p$を消去すると，$p$は方程式

$p^2-\boxed{\text{ウ}}p+\boxed{\text{エ}}=0$

を満たす．したがって，

$p=\boxed{\text{オ}}\text{，}q=\boxed{\text{カ}}$または$p=\boxed{\text{キ}}\text{，}q=\boxed{\text{ク}}$

となる．これより，数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を求めると，

$a_n=\boxed{\text{ケ}}\times {\boxed{\text{コ}}}^n-{\boxed{\text{サ}}}^n\text{，}{b}_n={\boxed{\text{シ}}}^n-{\boxed{\text{ス}}}^n$

となる．

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{l-k}{\boxed{\text{セ}}+kl}}$

を満たす．これより，$2$直線$y=(2-\sqrt{3})x\text{，}y=\sqrt{3}x$のなす角$\beta (0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$は，

$\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ソ}}}}$

である．また，

$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{8}}=\sqrt{\boxed{\text{タ}}}-1$

であるので，$2$直線$y=mx\text{，}y=\sqrt{2}x\text{（}0<m<\sqrt{2}\text{）}$のなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{8}}$となるとき，

$m={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}+\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}{\boxed{\text{テ}}}}$

である．

${\alpha }^2+{\beta }^2=\boxed{\text{ト}\text{ナ}}$

である．$\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}$の整数部分を$m\text{，}$小数部分を$p$とおく．さらに${\displaystyle \frac{1}{p}}$の整数部分を$n\text{，}$小数部分を$q$とおく．このとき，

$m=\boxed{\text{ニ}}\text{，}n=\boxed{\text{ヌ}}$

である．整数$k$に対して，$p+kq$が有理数となるのは

$k=-\boxed{\text{ネ}}$

のときである．このとき，

$p+kq=-\boxed{\text{ノ}}$

である．

(1)　積$ab$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{S}$の$x$座標を，$p$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が直線$y=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$上を動くときの点$\mathrm{S}$の軌跡を$C$とする．曲線$C$の方程式を求めよ．

(4)　$p>0$とし，(3)で求めた曲線$C$の点$\mathrm{S}$における接線と$x$軸との交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{T}$の距離が最小となる$p$の値を求めよ．

(1)　$S(t)$を，$t$を用いて表せ．

(2)　$t$の関数$S(t)$の導関数$S^{\prime }(t)$を考える．$t>0$の範囲で，方程式$S^{\prime }(t)=0$はただ$1$つの実数解をもつことを示せ．

(3)　方程式$S^{\prime }(t)=0$の正の実数解を$\alpha$とおく．このとき，$\alpha >{\displaystyle \frac{3}{2}}$であることを示せ．必要ならば，$e^3>20$を用いてもよい．

(4)　$t>0$の範囲で，不等式

$S(t)>{\displaystyle \frac{4}{3}}$

が成り立つことを示せ．