2006　東京理科大学　薬学部B方式2月7日実施MathJax

【１】(1)　曲線$C:y=x^2$と直線$l:y=4x+{\log }_{2}a\text{（}a>0\text{）}$を考える．

$C$と$l$が共有点をもつためには，$a\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}}$となることが必要十分である．$C$と$l$が直線$x={\log }_{2}a$上に共有点をもつとき，$a=\boxed{\text{エ}}$または$a=\boxed{\text{オ}\text{カ}}$である．このとき，$C$と$l$のもう一つの共有点の$x$座標は，$a$の値に応じてそれぞれ$\boxed{\text{キ}}\text{，}-\boxed{\text{ク}}$である．

【１】(2)　赤のさいころと白のさいころを同時に投げて，出た目の数をそれぞれ$a\text{，}b$とするとき，$x$の多項式$f(x)={(ax+{\displaystyle \frac{1}{b}})}^6$を考える．$f(x)=k_0{x}^6+k_1{x}^5+\cdots +k_{5}x+k_6$とおく．そのとき，$k_6$が整数となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}$であり，$k_i\text{（}i=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}6\text{）}$がすべて整数となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．また，$k_1$が整数となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$であり，$k_3$が整数となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}}$である．

【２】　$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=4\text{，}\mathrm{CD}=7$である四角形$\mathrm{ABCD}$があり，$4$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}$は円$O$に接している．

(1)　$\mathrm{DA}=\boxed{\text{ア}}$である．

さらに，この四角形は，ある円に内接しているという．

(2)　$\cos \angle B=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$であり，${\mathrm{AC}}^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}\text{オ}\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．

(3)　$\sin \angle B={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\sqrt{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}$である．

(4)　円$O$の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\sqrt{\boxed{\text{チ}\text{ツ}}}$である．

ただし，$\boxed{\text{コ}\text{サ}}\text{，}\boxed{\text{ス}\text{セ}}\text{，}\boxed{\text{チ}\text{ツ}}$は$4$で割り切れないものとする．

【３】　関数$f(x)=x^3+ax+b$（$a\text{，}b$は定数）は，$x=2$で極小値$0$をとるという．

(1)　$a=-\boxed{\text{ア}\text{イ}}\text{，}b=\boxed{\text{ウ}\text{エ}}$である．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸との共有点の$x$座標は，$x=2$と$x=-\boxed{\text{オ}}$である．

曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた領域（境界線も含む）を$D$とする．

(3)　$D$の面積は$\boxed{\text{カ}\text{キ}\text{ク}}$である．（ただし，$x^4$の導関数が$4x^3$であることを用いよ．）

(4)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$x+y$の値が最大になるのは，

$x=-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ケ}}}}\sqrt{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}\text{，}y=\boxed{\text{シ}\text{ス}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\sqrt{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}$

のときである．

【４】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上にベクトル$\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{q}$があり，$\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{q}$の大きさはそれぞれ$1\text{，}k\text{（}k>0\text{）}$で，$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$のなす角は$60\mathrm{°}$である．この平面上に，次の条件をみたす点の列${\mathrm{X}}_1\text{，}{\mathrm{X}}_2\text{，}{\mathrm{X}}_3\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{X}}_n\text{，}\cdots$をとる．

ただし，$\overrightarrow{x_n}\cdot \overrightarrow{p}$は$\overrightarrow{x_n}$と$\overrightarrow{p}$の内積を表す．

(1)　$\overrightarrow{x_n}\cdot \overrightarrow{p}=a_n$とおくとき，数列$\{a_n\}$は

$a_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}k$

$a_{n+1}=(\boxed{\text{ウ}}-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{エ}}}}k)a_n+\boxed{\text{オ}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす．

　さらに，$a_n-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}{k}}=b_n$とおくと，数列$\{b_n\}$は公比$\boxed{\text{ク}}-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ケ}}}}k$の等比数列になる．

(2)　点${\mathrm{X}}_1\text{，}{\mathrm{X}}_2\text{，}{\mathrm{X}}_3\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{X}}_n\text{，}\cdots$が同一直線上にあるのは，$k=\boxed{\text{コ}}$のときである．このとき，その直線のベクトル方程式は，$t$を媒介変数として，

$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{q}+t(\boxed{\text{サ}}\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q})$

となる．