2006　東京理科大学　工学部B方式2月9日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(1)　自然数$n$に対して，$x$の関数

$f_n(x)={\log }_{6}x-4{\log }_{6^2}x+\cdots +n{(-2)}^{n-1}{\log }_{6^n}x$

を考える．ここに，${\log }_{6^n}x$の底$6^n$は$6$の$n$乗である．

(a)　$f_3(6)=\boxed{\text{ア}}$であり，$f_6(6)=-\boxed{\text{イ}\text{ウ}}$である．

(b)　不等式

$f_n(x)>{\displaystyle \frac{1-2^n\cos n\pi }{12}}{\log }_6(18x^2-25)$

を満たす$x$の値の範囲は，$n$が奇数のとき，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}<x<\sqrt{\boxed{\text{キ}}}-\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$および$\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}+\sqrt{\boxed{\text{コ}}}<x$

であり，$n$が偶数のとき，

$\sqrt{\boxed{\text{サ}}}-\sqrt{\boxed{\text{シ}}}<x<\sqrt{\boxed{\text{ス}}}+\sqrt{\boxed{\text{セ}}}$

である．ただし，$\boxed{\text{ケ}}>\boxed{\text{コ}}\text{，}\boxed{\text{ス}}>\boxed{\text{セ}}$とする．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(2)　座標平面上を動く点$\mathrm{P}$は時刻$0$には点$(1,2)$にあり，$1$秒ごとに以下の規則で動く．

　ある時刻における点$\mathrm{P}$の座標を$(x,y)$とすると，その$1$秒後に点$\mathrm{P}$は確率${\displaystyle \frac{2x}{2x+y}}$で点$(x-1,y+3)$にあり，確率${\displaystyle \frac{y}{2x+y}}$で点$(x+1,y-1)$にある．

　時刻$0$から$t$秒後における点$\mathrm{P}$の座標を$(x_t,y_t)$とするとき，以下の問いに答えなさい．ただし，$t$は自然数とする．

(a)　$2$秒後の点$\mathrm{P}$の座標$(x_2,y_2)$が$(x_2,y_2)=(1,4)$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}\text{ウ}}}}$であり，$3$秒後の点$\mathrm{P}$の座標$(x_3,y_3)$が$(x_3,y_3)=(2,3)$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}}$である．

(b)　$5$秒後の点$\mathrm{P}$の座標$(x_5,y_5)$について

$\boxed{\text{キ}}{x}_5+y_5=\boxed{\text{ク}}$

が成り立つ．また，$x_5$のとりうる値は$\boxed{\text{ケ}}$通りあり，その最小の値は$\boxed{\text{コ}}$であり，最大の値は$\boxed{\text{サ}}$である．

(c)　$100$秒後の点$\mathrm{P}$の座標$(x_{100},y_{100})$について$(x_{100},y_{100})$のとりうる値は$\boxed{\text{シ}\text{ス}}$通りあり，その最小の値は$\boxed{\text{セ}}$であり，最大の値は$\boxed{\text{ソ}\text{タ}}$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(3)　座標平面において，$2$つの放物線$y=-x^2+4$と$y=x^2-2mx+m^2+m+1$が異なる$2$点で交わるような実数$m$を考える．この$2$つの交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta$とする．ただし，$\alpha >\beta$とする．

(a)　$m$のとり得る値の範囲は$-\boxed{\text{ア}}-\sqrt{\boxed{\text{イ}}}<m<-\boxed{\text{ウ}}+\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$である．

(b)　$\alpha \beta$の値が最小となるのは$m=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$のときで，その値は$\alpha \beta =-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．また，$\alpha -\beta$の値が最大となるのは$m=-\boxed{\text{コ}}$のときで，その値は$\alpha -\beta =\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$である．

(c)　点$\mathrm{P}$における放物線$y=-x^2+4$の接線と，点$\mathrm{Q}$における放物線$y=-x^2+4$の接線の交点を$\mathrm{R}$とする．$m$を動かすとき，点$\mathrm{R}$は放物線$y=-\boxed{\text{シ}}{x}^2-\boxed{\text{ス}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$上を動く．

【２】(1)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{e^x+4e^{-x}+5}}$について，以下の問いに答えなさい．ここで，$e$は自然対数の底である．

(a)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)dx$を求めなさい．

(b)　定積分${\displaystyle {\int }_0^a}f(x)dx$の値が$\log \sqrt[3]{2}$となるように，$a$の値を定めなさい．ただし，$\sqrt[3]{2}$は$2$の$3$乗根である．

【２】(2)　$x$の関数$y$が媒介変数$\theta$を用いて

$x=1-\cos \theta \text{，}y=\theta -\sin \theta$

と表されているとき，以下の問いに答えなさい．

(a)　${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$と${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$をそれぞれ$\theta$で表しなさい．

(b)　$\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2}}=2$のとき，${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$と${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$の値をそれぞれ求めなさい．

【３】　座標平面上の円$C:x^2+y^2=4$および楕円$E:{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$を考える．正の定数$m$に対し，楕円$E$の，傾きが$m$である$2$つの接線を$l_1\text{，}{l}_2$（直線$l_1$は直線$l_2$の上側部分にあるものとする）とし，直線$y=mx$と円$C$の第一象限における交点を$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線が第一象限において楕円$E$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　直線$l_1\text{，}{l}_2$の方程式をそれぞれ求めなさい．

(2)　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めなさい．

(3)　$a$を定数とする．直線$l_1\text{，}{l}_2$の両方に接する円で，中心の$x$座標が$a$であるものを求めなさい．

(4)　直線$l_1\text{，}{l}_2$の両方に接する円で，点$\mathrm{Q}$を通り，中心が楕円$E$の外部にあるものを求めなさい．