2006　東京理科大学　基礎工学部B方式2月10日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヤ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$k$を定数とし，$2$次関数$y=x^2-2kx+2k+3$のグラフを$C$とする．

(a)　$C$と$x$軸が，異なる$2$点で交わるような$k$の値の範囲は，$k<-\boxed{\text{ア}}\text{，}k>\boxed{\text{イ}}$である．

(b)　$C$が，$x$軸の$-2<x<4$の部分と，異なる$2$点で交わるような$k$の値の範囲は，$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}<k<-\boxed{\text{オ}}\text{，}\boxed{\text{カ}}<k<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．

(c)　$C$が，$x$軸の$-2<x<4$の部分と，$1$点のみで交わるような$k$の値の範囲は，$k<-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\text{，}k\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}$である．ただし，$C$が$x$軸と接する場合は考えない．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヤ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　大小$2$つのさいころを同時に投げて，大きいさいころの出た目の数を$m\text{，}$小さいさいころの出た目の数を$n$とする．このとき，方程式

$x^2+y^2-2mx-2ny+40=0\cdots$(＊)

を考える．

(a)　$m^2+n^2\geqq 40$となる$m\text{，}n$の組は，$\boxed{\text{ソ}\text{タ}}$通りある．

(b)　$xy$平面において，方程式(＊)が，$1$点を表す確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}\text{テ}}}}$であり，円を表す確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}\text{ニ}}}}$である．

(c)　$xy$平面において，方程式(＊)が，点$(2,3)$を内部に含む円を表す確率は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}\text{ノ}}}}$である．ただし，円の内部とは境界線を含まないものとする．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ヤ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　$x$を実数として，関数$f(x)=[x]+[2(x-[x])]$を考える．ただし，実数$x$に対して$[x]$は，$n\leqq x$となるような最大の整数$n$を表す．

(a)　$f(3.4)=\boxed{\text{ハ}}\text{，}f(3.7)=\boxed{\text{ヒ}}$である．

(b)　$f(x)=3$を満たす$x$の値の範囲は，$\boxed{\text{フ}}.\boxed{\text{ヘ}}\leqq x<\boxed{\text{ホ}}.\boxed{\text{マ}}$である．

(c)　$f(x)+f(2x)=10$を満たす$x$の値の範囲は

$\boxed{\text{ミ}}.\boxed{\text{ム}\text{メ}}\leqq x<\boxed{\text{モ}}.\boxed{\text{ヤ}}$

である．

【２】　$a$を正の定数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，点$\mathrm{A}(0,a)$をとり，線分$\mathrm{OA}$を直径とする円を$C$とする．点$\mathrm{A}$における円$C$の接線上に点$\mathrm{P}(t,a)\text{（}t\geqq 0\text{）}$をとり，$\angle \mathrm{AOP}=\theta (0\leqq \theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とおく．直線$\mathrm{OP}$と円$C$との交点のうち，原点以外の点を$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と，点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線との交点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$t=0$のときは，$\mathrm{P}=\mathrm{Q}=\mathrm{R}=\mathrm{A}$とする．

(1)　$t$と$\theta$の間の関係式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の座標を，$a$と$\theta$で表せ．また，$\mathrm{Q}$の座標を，$a$と$t$で表せ．

(3)　$\theta$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の範囲を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を表す方程式を求めよ．

(4)　$\theta$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QR}$（両端も含む）が通過する点の領域$D$を図示し，$D$の面積$S$を求めよ．ただし，$\theta =0$のときは，線分$\mathrm{QR}$は$1$点$\mathrm{A}$を表すとする．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，曲線$C:y=-x^2+4\text{（}0<x<2\text{）}$を考える．$C$上の点$\mathrm{P}(a,-a^2+4)\text{（}0<a<2\text{）}$における$C$の法線を$l$とする．ただし，$\mathrm{P}$における$C$の法線とは，$\mathrm{P}$における$C$の接線と点$\mathrm{P}$で直交する直線のことである．さらに，$l$上に$\mathrm{PQ}=1$となるような点$\mathrm{Q}$をとる（そのような点は$2$つあるが，そのうちのどちらをとってもよい）．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　原点$\mathrm{O}$と直線$l$の距離$d$を$a$で表せ．また，$d$が$0$となる$a$の値を求めよ．

(3)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が三角形をなすように点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$▵\mathrm{OPQ}$の面積の最大値を求めよ．また，そのときの$a$の値を求めよ．