2006　東京理科大学　理学部B方式2月12日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$内のアからヨにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ．また，$\boxed{}$内のあからうについては，真または偽のうちあてはまる方を，解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ．

(1)　さいころを$3$回まで投げることができる．$2$回目を投げるかどうかは$1$回目に出た目によって決め，$3$回目を投げるかどうかは$2$回目に出た目によって決める．$1$回目に出た目によって$2$回目を投げないことに決めた場合は，$1$回目に出た目をそのまま得点とし，$2$回で投げるのをやめた場合は，$2$回目に出た目を，$3$回投げた場合は$3$回目に出た目をそれぞれ得点とする．

(a)　$1$回目に$3$以下の目が出たときは$2$回目を投げるが，$4$以上の目が出たときは，ここで投げるのをやめる．$2$回目も再び$3$以下の目が出たときだけ，$3$回目を投げることにする．この場合，得点が$3$以下となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(b)　$1$回目に$4$以下の目が出たときは$2$回目を投げるが，$5$以上の目が出たときは，ここで投げるのをやめる．$2$回目も再び$4$以下の目が出たときだけ，$3$回目を投げることにする．この場合，得点が$3$または$4$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}\text{オ}}}}$である．

(c)　(b)の場合に，得点が$6$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$内のアからヨにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ．また，$\boxed{}$内のあからうについては，真または偽のうちあてはまる方を，解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ．

(2)　正の実数$a$に対し，$x$の$2$次関数$f_a(x)=x^2-2\sqrt{a}x+2a+{\displaystyle \frac{1}{a}}-3$が定められている．

(a)　$a$が正の範囲を動くとき，放物線$y=f_a(x)$の頂点$\mathrm{P}$は，曲線$y=x^{\boxed{\text{コ}}}+{\displaystyle \frac{1}{x^{\boxed{\text{サ}}}}}-\boxed{\text{シ}}$の，$x$座標が正である部分を動く．このことから，頂点$\mathrm{P}$の$y$座標の最小値が$-\boxed{\text{ス}}$であることがわかる．

(b)　すべての正の実数$a$に対して$f_a(k\sqrt{a})>0$が成り立つような正の整数$k$のうち最小のものは$\boxed{\text{セ}}$である．

(c)　$f_a(0)\leqq 0$となるような，$a$の値の範囲は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\leqq a\leqq \boxed{\text{チ}}$である．

(d)　次の(ⅰ)から(ⅲ)のそれぞれの命題について，真偽を調べると次のようになる．

(ⅰ)　命題「すべての正の実数$a$とすべての実数$x$に対して，$f_a(x)>0$である」は$\boxed{\text{あ}}$である．

(ⅱ)　命題「どんな正の実数$a$に対しても，ある実数$x$をとると$f_a(x)>0$である」は$\boxed{\text{い}}$である．

(ⅲ)　命題「ある実数$x$に対して，正の実数$a$をどのようにとっても$f_a(x)>0$である」は$\boxed{\text{う}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$内のアからヨにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ．また，$\boxed{}$内のあからうについては，真または偽のうちあてはまる方を，解答用マークシートの解答欄の指定された行にマークせよ．

(3)　$t$を媒介変数として

$\{\begin{array}{c}x={\displaystyle \frac{3}{2}}\cos t\\ y=\sin t+{\displaystyle \frac{1}{3}}2t\end{array}$

で表される座標平面上の点$\mathrm{P}(x,y)$が描く曲線$C$を考える．

　最初に，媒介変数$t$の値が$\pi \leqq t\leqq 2\pi$の範囲を動く場合に，$y$の増減を調べることにより，この場合$y$の値は，$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$の範囲を動くことがわかる．

　次に，媒介変数$t$の値が$0\leqq t\leqq \pi$の範囲を動く場合に，$y$の増減を調べることにより，この場合$y$の値は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}\text{ヒ}}}}$の範囲を動くことがわかり，このときさらに$x$の値の変化を調べることで，曲線$C$上の点で$y$座標の値が最大となるような点は$\boxed{\text{フ}}$個あり，これらの点の$x$座標のうち，最も値が大きいものは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}\sqrt{\boxed{\text{マ}}}$であることがわかる．

　媒介変数$t$の値がこれらの$2$つの範囲にある場合のそれぞれについて，$y$および$x$の値の変化を調べることによって，直線$y=a$と曲線$C$との共有点の数は，$a$の値が${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}}<a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}\text{ユ}}}}$の範囲にあるとき$\boxed{\text{ヨ}}$個となり，最も多くなることがわかる．

【２】　座標屁面上に，中心の$x$座標が正であり半径が$a$の円$C_1$と，中心の$y$座標が正であり半径が$b$の円$C_2$がある．円$C_1$は$y$軸に接し，円$C_2$は$x$軸に接し，さらにこれらの円は外接している．ただし，$a$と$b$は正の定数である．$2$つの円$C_1\text{，}{C}_2$が，これらの条件をすべて満たしながら動くとする．以下の問いに答えよ．

(1)　円$C_1$と円$C_2$の接点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡の方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた接点$\mathrm{P}$の軌跡が描く曲線によって囲まれる図形の面積を，積分を計算することにより求めよ．

【３】　$m<n$を満たす自然数$m\text{，}n$の組に対して，実数$a\text{，}b\text{，}c$を係数にもつ$3$次式$P(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$が，$x^2+1$で割ったときの余りが$(mn-1)x+m+n$であり，かつ$x^2-1$で割ったときの余りが$(mn+1)x-(m+n)$であるように定められている．以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$を$m\text{，}n$の式で表せ．

(2)　$P(x)=0$の解を$m\text{，}n$の式で表せ．

(3)　曲線$y=P(x)$と$x$軸によって囲まれる図形のうち，$x$軸の上側にある部分の面積を$S$とおき，$x$軸の下側にある部分の面積を$T$とおく．$S$と$T$がともに整数であるとき，$m\text{，}n$はともに偶数であることを証明せよ．

(4)　$S$と$T$がともに整数であるための必要十分条件を，$m=2k$を満たす整数$k$と$n=2l$を満たす整数$l$の和$k+l$に関する条件として述べよ．

(5)　$S$と$T$がともに整数となり，かつ不等式$S+T\leqq 240$が満たされるような自然数$m\text{，}n$の組のとり方をすべて求めよ．