2006　東京理科大学　理学部数学科2月12日実施MathJax

【１】　座標平面上で，連立不等式

$x^2+y^2\leqq 1\text{，}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$

の表す領域を$D\text{，}$原点を中心とする半径$1$の円周と$D$との共通部分である円弧を$C$とする．$0\leqq t\leqq 1$を満たす$t$に対して，直線$y=t$と$C$との交点を$\mathrm{P}$とし，$x$軸に垂直な直線で$\mathrm{P}$を通るものと$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，領域$D$の点$\mathrm{R}$を，直線$y=t$上に，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離と$\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$の距離との和が$1$となるようにとる．$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，点$\mathrm{R}$が描く曲線を$F$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq t\leqq 1$を満たす$t$に対して，点$\mathrm{R}$の座標を$(h(t),t)$とおく．関数$h(t)$を求めよ．また，$h(t)$の最大値$M$と，そのときの$t$の値を求めよ．

(2)　実数$s$が$0\leqq s<M$を満たすとき，直線$x=s$と曲線$F$との共有点の座標を$(s,a(s))$と$(s,b(s))$とする．ただし，$a(s)>b(s)$である．$a(s)-b(s)$と$a(s)+b(s)$を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }u\sqrt{1-u^2}du$を求めよ．

(4)　曲線$F$と円弧$C$および$x$軸の囲む図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

【２】　$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$について，次の問いに答えよ．

(a)　導関数$f^{\prime }(x)$と第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(b)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(c)　関数$f(x)$のグラフの変曲点を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$を

$f_n(x)={\displaystyle \frac{\log (n+1)}{n+1}}\{x^3-(n+1)x^2\}$

により定める．

(a)　実数$\theta$を変数とする関数$f_n(\sin \theta )+f_n(\cos \theta )$の最大値$M_n$と最小値$m_n$を求めよ．

(b)　(a)で求めた$M_n$と$m_n$に対して，$a_n=M_n-m_n$により数列$\{a_n\}$を定める．$n$が自然数全体を動くときの$a_n$の最大値を求めよ．

(c)　(b)で定めた数列$\{a_n\}$に対して，数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}-a_n$により定める．$n$が自然数全体を動くときの$b_n$の最小値を求めよ．ただし，自然対数の底$e$に関して，$2^{\frac{4}{3}}<e<5^{\frac{2}{3}}$であることを用いてよい．