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2006 東京理科大学 理学部B方式

情報数理科,応用物理,応用化学科

2月13日実施

(1)〜(3)合わせて配点45点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(3)において,   内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数字を解答用マークシートの所定欄にマークせよ.なお,(1)の には,あたはまる + - の記号を求め,その記号を解答用マークシートの所定欄にマークせよ.

(1) 区間 0 x3 で,関数 f (x ) を次のように定める.

f( x)= { 3 2 x2 0 x2 2( 5-x) 2<x 3

F( x)= 0x f( t) dt 0x 3 とおくと, F( 0)= F( 2)= F( 3)= である.また, F( x) の逆関数 F-1 ( x) は次のようになる.

F-1 ( x)= { x 3 x (記号) -x <x

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情報数理科,応用物理,応用化学科

2月13日実施

(1)〜(3)合わせて配点45点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(3)において,   内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数字を解答用マークシートの所定欄にマークせよ.

(2)  5 次の多項式 P (x) =(x +1) (x +2) (x +3) (x +4) ( x+5 ) を展開した式を

x5+ c4 x4+ c3 x3+ c2 x2+ c1 x+c0

とおく.

(a)  P( x) を展開した式は, 5 個の因数 x+ 1 x+2 x+ 5 のそれぞれから x または自然数 n 1 n5 のどちらかを選び,それらを掛け合わせでできる項の和を整理したものである.よって, x4 の係数 c 4 である.

(b)  x2 の係数 c 2 を求めるには, 1 2 3 4 5 の中から異なる 個の数字を選んでできる 通りのすべての組合わせを列挙し,それぞれの選び方について 個の数字の積を求めて,それらの総和を計算すればよい.よって, c2 である.

(c) 定数項 c 0 である.

(d) 方程式 P (x) +P( -x) =0 を考える.これを整理した式を

x4+ a3 x3+ a2 x2+ a1 x+a0 =0

とすると,係数は順に a 3= a2= a1= a0= となる.この 4 次方程式を解くと, 4 つの解

x=- ± i

x=- ± i

が得られる.ただし, i は虚数単位である.

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情報数理科,応用物理,応用化学科

2月13日実施

(1)〜(3)合わせて配点45点

易□ 並□ 難□

【1】 次の(1)から(3)において,   内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求め,その数字を解答用マークシートの所定欄にマークせよ.

(3) 空間内に, 0 でない 2 つのベクトル

p =(cos θ-sin θ, 3cos θ, 3sin θ )

q =(cos θ+sin θ,sin θ- 23 cos θ,cos θ- 23 sin θ)

があり, θ 0 θπ の範囲を動くとする.

(a)  p q が垂直になるような θ の値は,小さい順に

π π

である.

(b)  023 π | p | 2d θ= π - である.

(c)  | q | の最大値は + である.

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情報数理科,応用物理,応用化学科

2月13日実施

配点25点

易□ 並□ 難□

【2】  k を定数とし, E 2 次の単位行列とする.行列 A= ( -3- 41 2 ) を用いて表された, x y の連立 1 次方程式 A ( x y) =k ( xy ) が, x=y= 0 以外の解をもつという.次の問いに答えよ.

(1)  A-k E が逆行列をもたないことを示し, k のとり得る 2 つの値 α β α<β を求めよ.

(2) (1)で求めた α β に対して

A( u -1 ) =α (u -1 ) A ( v1 )= β( v 1 )

を満たす u v の値を求めよ.

(3)  n は自然数とし, u v は(2)で求めた値とする.

(a)  A2 ( u- 1 ) An ( u- 1 ) An ( v1 ) を求めよ.

(b)  An ( uv -1 1 ) A n を求めよ.

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情報数理科,応用物理,応用化学科

2月13日実施

配点30点

易□ 並□ 難□

【3】 以下で log x x の自然対数を表し, e は自然対数の底を表す.

(1)(a) 不定積分 (log x) 2d x を求めよ.

(b) 関数 f (x) =x-e logx の増減表を書け.また,不等式 f (x) 0 x>0 が成り立つことを示せ.

(2)  k は正の定数とする.このとき, 2 つの曲線

C:y= g( x)= elog x

D:y= h( x)= ke -x

は,第 1 象限内の 1 P で交わる. P x 座標を α として,次の問いに答えよ.

(a)  k α の式で表せ.

(b) 交点 P における 2 曲線の接線が互いに直交するとき, α の値を求めよ.

(c) (b)で求めた α の値に対して,曲線 C x 軸および直線 x= α で囲まれた図形を, x 軸のまわりに 1 回転させる.このときできる立体の体積 V を求めよ.

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