2006　東京理科大学　理学部情報数理学科2月13日実施MathJax

【１】　$t$は$t>1$を満たす定数とする．関数

$f(x)={\displaystyle \frac{\cos x}{t-\sin x}}-{\displaystyle \frac{1}{t}}\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$は$x=\alpha$で最大値$M$をとり，$x=\beta$で最小値$m$をとる．$\cos \alpha \text{，}\cos \beta \text{，}M\text{，}m$をそれぞれ$t$で表せ．

(2)　$0<x<2\pi$の範囲で$f(x)=0$となる$x$の値を$\gamma$とする．$\sin \gamma$と$\cos \gamma$を$t$で表せ．

(3)　$t=\sqrt{3}$とするとき，$\gamma$の値を求めよ．また，このとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$を正の実数とし，関数$f(x)=x^3-a^{2}x-b$を考える．

(a)　$f(x)$の極大値，極小値と，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

(b)　方程式$f(x)=0$がただ$1$つの実数解をもつときの必要十分条件を，$a\text{，}b$の式で表せ．

【２】　次の問いに答えよ．

(2)　座標平面上に放物線$C:y=x^2$がある．

(a)　放物線$C$上の，原点以外の点$\mathrm{P}(t,t^2)\text{（}t\ne 0\text{）}$における法線$l$の方程式を求めよ．さらに，この法線$l$が点$\mathrm{Q}(u,v)$を通るとする．このとき，$t\text{，}u\text{，}v$の関係式を，$t$について整理した形で求めよ．

(b)　$n$を自然数とする．放物線$C$の法線で，点$\mathrm{Q}(n,5)$を通るものがただ$1$本だけ引けるとする．すなわち，$C$上にただ$1$点$\mathrm{P}(t_n,{t_n}^2)$がとれて，この点における法線のみが，点$\mathrm{Q}(n,5)$を通るとする．そのような$n$の最小値$N$を求めよ．

(c)　自然数$n$が(b)で求めた$N$以上のとき，$\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{n}{2}}}<t_n<\sqrt[3]{2n}$であることを証明せよ．

(d)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{t_n}^3}{n}}$を求めよ．