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2006-13591-0101
2006 早稲田大学 国際教養学部
2月13日実施
易□ 並□ 難□
【1】
(1) 座標平面上の 2 点 A (0 ,4) ,B (3, 0) に対し線分 AB 上を動く点 P と,円 x2+ y2= 1 の内部または周上を動く点 Q を考える.線分 PQ を PR :RQ= 1:2 に内分する点を R とする.このとき点 R が動く範囲の面積は
1 ア ⁢ ( イ ウ +π )
である.
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(2) x, y が 2 ⁢x2 +3⁢ y2= 1 をみたす実数のとき, x2 − y2+ x⁢y の最大値は
エ オ + カ キ ク
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(3) a>1 とする.自然数 n に対して
f⁡( n)=log a⁡ 14 + ∑k= 1n loga (k+ 1)⁢( 3⁢k+ 1)k ⁢(3⁢ k+4)
とおく.
f⁡( n)>log a⁡ 62 189
をみたす n の範囲は n ≧ ケ コ である.
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(4) ひとつのサイコロを 4 回投げ,出た目の数を順に x , y , z, w とする.このとき (x− y)⁢( y−z )⁢(z −w) ≠0 となる確率は
サ シ ス 216
である.また (x− y) ⁢(y- z)⁢( z−w) ⁢(w− x)=0 となる確率は
セ ソ 72
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【2】 座標平面上に点 A(5 ,0 ) を中心とする半径 4 の円 C 1 と点 B (3 ,0 ) が与えられている.点 P (p ,q ) が円 C1 の周上を動くとき, P を中心として半径の長さが 2 ⁢BP の円 C 2 と x 軸との二つの交点を M (m ,0 ), N ( n,0 ) とする.ただし, m<n とする.点 M は動点 P の位置に関係なく定まる定点となることをみよう.
点 P (p ,q ) は円 C 1 の周上にあるから
p2+ q2= タ チ ⁢p− ツ ⋯ ①
である.また円 C 2 の方程式は
(x− p)2 +(y −q) 2= テ ⁢ {( p− ト )2 +q2 }
で与えられるから,式 ① を代入して整理すると円 C 2 の方程式は
x2+ y2− 2⁢p⁢ x−2⁢ q⁢y− ナ ⁢p − ニ= 0
となる.ゆえに
m=− ヌ ,n = ネ ⁢p+ ノ
となり, M は定点 (− ヌ ,0 ) である.
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【3】 3 次関数 f ⁡( x) は x =1 と x =3 で極値をとり,また曲線 y =f⁡ (x) 上の点 (2 ,2) における接線の方程式が 3 ⁢x+ y−8 =0 であるとする.このとき
f⁡( x)= ハ ⁢x3 − ヒ⁢ x2+ フ ⁢x
である.次に,原点 O を通る直線 l はこの曲線と 2 点 P ( x1 ,y 1 ) , Q( x2 ,y2 ) で交わっているとする.ただし, 0<x 1<x 2 とする.直線 l とこの曲線とで囲まれた 2 つの部分の面積 S 1 と S 2 が等しくなるとき
x1= ヘ , x2= ホ
である.このとき,その面積は
S1= S2= マ